Наблюдение искажения формы сдвиговой волны конечной амплитуды в среде с кубичной нелинейностью

В.Г.Андреев

В лаборатории планируется исследовать нелинейные процессы генерации и распространения сдвиговых волн конечной амплитуды в резиноподобных средах. Известно, что механические напряжения, возникающие в таких средах при введении сдвиговой деформации, не зависят от направления сдвига, и поэтому квадратичная нелинейность отсутствует. Кубичная нелинейность упругого отклика, тем самым, становится основной. Это характерно для всех сред с центром инверсии. В теоретических работах [1,2] показано, что в кубично-нелинейной среде исходно синусоидальный профиль волны трансформируется в трапециевидный с последующим формированием ударных фронтов. В среде с квадратичной нелинейностью результатом елинейных взаимодействий является формирование хорошо известных пилообразных волн. Такие пилообразные волны, образующиеся в жидкостях и газах, хорошо изучены как теоретически, так и экспериментально. В то же время, до сих пор отсутствуют работы, где бы были экспериментально зарегистрированы трапециевидные волны, сформированные в среде с кубичной нелинейностью.

Экспериментальное исследование нелинейного искажения формы сдвиговых волн предполагается выполнить в резиноподобных полимерных материалах, сдвиговый модуль которых легко варьируется в процессе изготовления путем изменения концентрации отвердителя и размягчителя. Затухание сдвиговых волн в указанных полимерных материалах в килогерцовой области частот достаточно мало для наблюдения нелинейных эффектов на масштабах порядка десятков сантиметров. Существенным преимуществом резиноподобных полимерных материалов, с точки зрения наблюдения нелинейных эффектов, является малость скорости распространения сдвиговых волн. Скорости сдвиговых волн в этих материалах лежат в диапазоне нескольких метров в секунду, следовательно, длина сдвиговой волны на частоте 1 кГц составляет всего несколько миллиметров (для сравнения, для получения той же длины продольной волны требуется проводить возбуждение в мегагерцовом диапазоне). Поэтому при достаточно больших амплитудах сдвиговых смещений образование разрыва можно наблюдать уже на расстояниях порядка нескольких сантиметров. Хорошая оптическая прозрачность полимерных резиноподобных материалов обеспечивает возможность применения бесконтактного оптического метода для регистрации трапециевидных нелинейных искажений в профиле сдвиговой волны, развитого ранее в лаборатории. Оптический метод позволяет регистрировать сдвиговые смещения в диапазоне от 0.1 до 100 микрон с хорошей степенью точности. Генерацию сдвиговых смещений в среде можно будет производить двумя методами. Для генерации плоской сдвиговой гармонической волны предполагается использовать ультразвуковой вибратор, обеспечивающий создание сдвиговых смещений с амплитудой до 0.1 мм на частотах 1-5 кГц. Предполагается, что размеры вибрирующей поверхности будут в несколько раз превышать длину сдвиговой волны на возбуждаемой частоте, что позволит возбуждать квазиплоские сдвиговые волны. Сама вибрирующая пластина 'вмораживается' в объем материала в процессе полимеризации, что обеспечивает надежный контакт поверхности пластины и полимера

Сдвиговые волны в виде одиночных видеоимпульсов миллисекундной длительности будут возбуждаться с помощью сфокусированных высокочастотных (порядка нескольких МГц) ультразвуковых импульсов. Для этого ультразвуковой пучок фокусируется внутрь исследуемого образца, и в области его фокуса за счет сил радиационного давления возбуждаются сдвиговые волны. Пиковое смещение в таким образом возбужденном импульсе может составлять до 10 микрон, что недостаточно для наблюдения нелинейных явлений. Для повышения амплитудных значений сдвиговых смещений предлагается смещать область генераци волн (фактически фокальную область ультразвукового преобразователя) в направлении распространения сдвиговой волны со скоростью, близкой к скорости распространения волны. Это вполне реально, поскольку скорость распространения сдвиговых волн в резиноподобных полимерах составляет несколько метров в секунду. При движении источников с околозвуковой скоростью возможно увеличение пикового смещения возбуждаемой волны в десятки раз; конкретный коэффициент усиления будет определяться нелинейными эффектами, которые и ограничат амплитуду возбуждаемой волны.

В результате измерений расстояния формирования ударного фронта в сдвиговой волне будет рассчитан нелинейный модуль сдвига среды. Наряду с указанным выше динамическим измерением нелинейного сдвигового модуля, будут проводиться измерения этого параметра статическим методом. Для этого будет применена методика, аналогичная известным методам определения нелинейного параметра в средах с квадратичной нелинейностью.

В работе основное место уделено экспериментальным методам изучения нелинейных процессов в средах с кубичной нелинейностью. Однако планируется провести и значительные теоретические исследования. В частности, в настоящее время совершенно неясно, каким образом будет искажаться форма волны, имеющая вид одиночного видеоимпульса. Планируется, что теоретический анализ процесса искажения плоских и цилиндрических сдвиговых волн в резиноподобной среде с кубичной нелинейностью будет проведен на основе модифицированного уравнения Бюргерса. Известные решения для исходно гармонического возмущения будут обобщены на случай волны, имеющей вид импульса, возникающего в среде при поглощении интенсивного высокочастотного ультразвука. Будут рассмотрены как плоские волны, так и волны с цилиндрически расходящимся фронтом. Теоретический анализ решения модифицированного уравнения Бюргерса будет проводиться методом численного моделирования с использованием конечно-разностных схем и асимптотических подходов. Необходимо будет написать и отладить программы для численного моделирования решений уравнения Бюргерса в кубично-нелинейной среде.

Работа студента или студентов будет заключаться в следующем:

1. Изучить литературу, посвященную нелинейным процессам в средах без дисперсии. Ознакомиться с теоретическими и экспериментальными методами, используемыми в настоящее время.

2. Написать и отладить программу для численного моделирования решений уравнения Бюргерса в кубично-нелинейной среде. Выполнить расчет искажений профиля гармонической волны и волны в виде одиночного видеоимпульса гауссовой формы.

3. Участвовать в создании установки для возбуждения сдвиговых волн конечной амплитуды в резиноподобных средах. Необходимо будет сделать выбор необходимых резиноподобных полимеров для оптимального наблюдения нелинейных эффектов. Измерить нелинейные параметры выбранных материалов. Провести наблюдение искажения формы сдвиговой волны в различных резиноподобных материалах, сравнить с результатами теоретических расчетов.

Литература

1. J.P.Lee-Bapty, D.G.Crighton. Phylos. Trans. Roy. Soc. London, A 323, 173 (1987).

2. Руденко О.В., Сапожников О.А. Волновые пучки в кубично-нелинейных средах без дисперсии. ЖЭТФ, 1994, т.106, 395-413.

3. Андреев В.Г., Ведерников А.В. Генерация и детектирование сдвиговых волн в резиноподобной среде с помощью сфокусированного ультразвука. Вест. Моск. Ун-та, сер.3. физ.-астр., 2001, т.41, ?1, 58-60.

4. Андреев В.Г., Клопотов Р.В., Пищальников Ю.А., Сапожников О.А. Возбуждение сдвиговой волны акустическим импульсом с ударным фронтом в резиноподобной среде. Известия РАН, Сер.физическая, 1998, т.62, ?12, 2366-2370.

5. Андреев В.Г., Дмитриев В.Н., Пищальников Ю.А., Руденко О.В., Сапожников О.А., Сарвазян А.П. Возбуждение сдвиговой волны, возбужденной с помощью фокусированного ультразвука в резиноподобной среде. Акуст. Журн., 1997, т.43, ?2, 149-155.

6. Andreev V.G., Vedernikov A.V., Emelianov S.Y. Elastic moduli measurement in the phantoms of biological tissue with conventional US imaging and therapeutic instruments. Proc. Int. Conference 'Progress in Nonlinear Science', P.2, Nizhny Novgorod 2002, 510-515.

©2003 Кафедра акустики