Волновой оптикой называют раздел физической оптики, изучающей явления, в которых проявляется волновая природа света. В этом разделе в кратком изложении сформулированы основные теоретические положения волновой оптики и приведены наиболее важные соотношения и уравнения, положенные в основу всего дальнейшего рассмотрения.

Уравнения Максвелла связывают вектор напряженности электрического поля E и вектор электрической индукции D с вектором напряженности магнитного поля H и вектором индукции B. В отсутствие токов и свободных электрических зарядов они имеют вид:

, (1.2.1)

, (1.2.2)

, (1.2.3)

, (1.2.4)

, (1.2.5)

, (1.2.6)

где  и  - соответственно электрическая и магнитная постоянные,  и  - относительные соответственно диэлектрическая и магнитная проницаемости среды.

Подставим величину (1.2.6) в уравнение (1.2.2) и, предполагая, что величина  не зависит от пространственных координат, возьмем ротор от левой и правой частей этого уравнения

. (1.2.7)

Используя уравнения (1.2.1) и (1.2.5), а также принимая во внимание, что

, , (1.2.8)

можно переписать уравнение (1.2.7) в виде

. (1.2.9)

Присутствующий в соотношениях (1.2.8), (1.2.9) оператор  является вектором с компонентами . Если величина  постоянна в пространстве, градиент  обращается в нуль, и уравнение (1.2.9) принимает вид волнового уравнения

. (1.2.10)

Применяя операцию  к обеим частям уравнения (1.2.1), можно получить аналогичное уравнение для 

. (1.2.11)

Из (1.2.11) следует, что каждая декартова компонента Y w (x,y,z,t) вектора  или B удовлетворяют скалярному волновому уравнению

, (1.2.12)

где величина v имеет физический смысл скорости света в среде с параметрами e и m

. (1.2.13)

Частным решением уравнения (1.2.12) может служить плоская волна произвольной формы, распространяющаяся в направлении n. Если в каждой точке пространства величина  меняется во времени по гармоническому закону, то плоская волна может быть описана выражением

, (1.2.14)

где w - циклическая частота, а- амплитуда.

Вводя волновой вектор , модуль которого равен k=2p /l , выражению (1.2.14) можно придать вид

. (1.2.15)

В расчетах удобно пользоваться комплексным представлением плоской гармонической волны

. (1.2.16)

В комплексной форме могут быть представлены также расходящиеся и сходящиеся сферические волны, которые имеют соответственно вид

, (1.2.17)

. (1.2.18)

Поскольку нас интересует преимущественно монохроматическое излучение, то есть излучение определенной частоты, мы будем в дальнейшем опускать экспоненциальный множитель

. (1.2.19)

Если зависимость от времени представляется в форме (1.2.19), то дифференцирование по времени заменяется умножением на -iw и волновое уравнение (1.2.12) принимает вид

, (1.2.20)

где под Y следует понимать комплексную амплитуду волны. Уравнение (1.2.20) называется приведенным волновым уравнением Гельмгольца. В нашем курсе это уравнение играет фундаментальную роль. В последующих разделах нам придется неоднократно к нему обращаться в процессе анализа особенностей распространения волновых пучков в различных средах и оптических системах.

До сих пор обсуждение касалось волнового уравнения (1.2.12), полученного как частный случай уравнения (1.2.9). Поскольку первое из них является существенно более простым и удобным, возникает вопрос о возможности его применения также для случая неоднородных сред. Для ответа на этот вопрос следует определить, в каких случаях можно пренебречь вторым членом в уравнении (1.2.9). Доминирующими членами в уравнении (1.2.9) являются первый член в левой части и член в правой части, порядок величин которых одинаковый. Возьмем отношение второго члена левой части уравнения (1.2.9) к члену, стоящему в правой части

. (1.2.21)

Несложный анализ, выполненный в [8], показывает, что порядок R определяется соотношением

, (1.2.22)

где ,  - значения относительной диэлектрической проницаемости в двух близких точках, разделенных расстоянием , e - ее среднее значение. Выбирая =l , получаем

. (1.2.23)

Для того чтобы пренебречь вторым членом в левой части уравнения (1.2.9), необходимо потребовать выполнения условия R<<1. Это означает, что относительное изменение e на расстоянии длины волны должно быть много меньше 1. Для большинства неоднородных оптических сред такое условие хорошо выполняется, что позволяет ограничиваться решением уравнения (1.2.10) вместо (1.2.9). Только на границе раздела двух областей с различными диэлектрическими проницаемостями, например, на границе между стеклянными линзами и воздухом, величина R становится большой. Однако даже в этих случаях следует решать уравнение (1.2.10) или (1.2.12), так как оно справедливо всюду, кроме границы раздела сред. На практике обычно решают волновое уравнение в различных однородных областях и сшивают эти решения посредством граничных условий.

Пусть в пространстве распространяется монохроматическая волна

, (1.2.24)

амплитуда которой Y (x,y,z) удовлетворяет уравнению Гельмгольца (1.2.20). Окружим точку наблюдения Р произвольной поверхностью S (рис. 1.2.1.).

Определим возмущение в точке Р в зависимости от возмущения на границе выделенной области. Воспользуемся для этого известной теоремой Грина

, (1.2.25)

где c - некоторая вспомогательная величина, которая также как и Y имеет непрерывные частные производные первого и второго порядков внутри объема V, ограниченного поверхностью S, и на самой поверхности S. Потребуем также, чтобы функция c удовлетворяла уравнению (1.2.20). Операция  в формуле (1.2.25) означает дифференцирование по внутренней нормали  к поверхности S. В качестве вспомогательной функции c рассмотрим функцию , где r - расстояние между произвольной точкой объема V и точкой Р (радиус-вектор r будем считать направленным от точки Р, как от начала координат). Функция c представляет собой функцию изменения амплитуды поля точечного источника (т.е. так называемую функцию Грина свободного пространства). Для того чтобы эта функция удовлетворяла условиям теоремы Грина, нужно исключить из области V точку Р, где функция c обращается в бесконечность. С этой целью окружим точку Р сферой бесконечно малого радиуса R и исключим ее из области V. Тогда формула (1.2.25) примет вид

. (1.2.26)

Здесь  означает объем V без объема сферы,  - площадь сферы. Поскольку функции Y и c удовлетворяют уравнению Гельмгольца, то объемный интеграл в выражении (1.2.26) равен нулю. Тогда из (1.2.26) следует, что

. (1.2.27)

При выводе соотношения (1.2.27) мы перешли от интегрирования по поверхности  к интегрированию по телесному углу W . Таким образом, возмущение в точке Р будет равно

. (1.2.28)

Выражение (1.2.28) известно как дифракционный интеграл Кирхгофа-Гюйгенса.

Дифракционный интеграл (1.2.28) широко используется при решении многих дифракционных задач. Следует, однако, иметь в виду, что возможны и другие математические подходы к анализу дифракции. Они, прежде всего, связаны с выбором другой вспомогательной функции c . В частности, функция c может быть выбрана так, чтобы она обращалась в ноль на поверхности S. Такой подход в какой-то степени упрощает задачу, так как в выражении (1.2.28) обращается в ноль член, содержащий . Однако цена этого упрощения состоит в усложнении функции c .

Для большинства оптических задач выполняется условие

, (1.2.29)

тогда, пренебрегая производной от  по сравнению с производной от , формулу (1.2.28) можно записать в виде

. (1.2.30)

Рассмотрим классическую для теории дифракции задачу о прохождении плоской волны через отверстие площадью А в бесконечном непрозрачном экране (рис. 1.2.2). Будем считать, что поверхность, по которой происходит интегрирование, включает экран и бесконечную

полусферу радиуса , ограничивающую пространство справа от экрана. Обозначим координаты точки Р как , , , угол наклона волнового вектора k плоской волны и оси z через g , а угол, задающий направление на точку Р, через a . Из рис. 1.2.2 следует, что

, (1.2.31)

поэтому

(1.2.32)

и

(1.2.33)

С помощью формул (1.2.32) и (1.2.33) интеграл (1.2.30) можно переписать в виде

(1.2.34)

В таком виде этот интеграл известен как формула (интеграл) Френеля-Кирхгофа. В выражении (1.2.34) мы ограничились интегрированием лишь по площади отверстия, считая, что интеграл по бесконечной полусфере обращается в ноль. Последнее утверждение выглядит вполне обоснованным, если предположить, что падающая волна представляет собой очень длинный, но все же конченый цуг волн. Конечный же цуг волн не может достичь бесконечной полусферы за конечное время, тем самым интеграл по поверхности этой полусферы равен нулю.

Более точный математический анализ показывает, что интеграл по бесконечной полусфере стремится к нулю, если выполняется так называемое условие Зоммерфельда, согласно которому

    Гораздо боле уязвимым предположением является использованное при получении формулы (1.2.34) второе предположение о равенстве нулю функции Y и ее производной  на непрозрачном экране. Дело в том, что равенство нулю решения волнового уравнения и его производной на любом конечном интервале приводит к обращению его в ноль во всем объеме. Однако, несмотря на явный математический изъян, формула (1.2.34) приводит к результатам, хорошо согласующимся с данными экспериментов.

Во многих практических случаях, когда отверстие в экране мало и точка Р располагается вблизи оси, можно считать, что

(1.2.35)

Одновременно, если экран освещается волной, падающей на него перпендикулярно, можно положить, что

. (1.2.36)

Тогда формула (1.2.34) преобразуется в выражение

, (1.2.37)

которое является математическим обобщением принципа Гюйгенса-Френеля. Из него видно, что недостаточно просто предполагать, как это делал в свое время Гюйгенс, что падающая волна выполняет роль источника сферических волн с амплитудами, пропорциональными амплитуде падающей волны в каждой точке. Необходимо потребовать, чтобы фаза вторичного источника отставала от фазы падающей волны на  (из-за наличия в правой части (1.2.37) множителя -i).

Поскольку в большинстве практических случаев выполняются соотношения

и , (1.2.38)

можно построить выражение для величины r, ограничиваясь первыми двумя членами ее разложения в ряд Тейлора

(1.2.39)

Используя это выражение, получим следующее приближение для формулы Френеля-Кирхгофа (1.2.34):

. (1.2.40)

Принято говорить о двух случаях применения интеграла (1.2.40): дифракции Френеля и дифракции Фраунгофера. Дифракция Френеля имеет место, когда поле рассчитывается на небольшом расстоянии от отверстия и член , появляющийся в показателе степени экспоненты, следует принимать во внимание. Дифракция же Фраунгофера наблюдается вдали от отверстия, когда этот член пренебрежительно мал.

Вторичные сферические волны, излучаемые каждой точкой в плоскости отверстия, являются в определенном смысле абстракцией и вводятся в приведенном выше подходе к решению дифракционных задач, главным образом, для удобства описания. Более физический подход развит в работах Зоммерфельда. Зоммерфельд рассматривал высказанную еще в 1802 г. Томасом Юнгом идею, заключающуюся в следующем: наблюдаемое поле является суперпозицией падающей волны, прошедшей через отверстие без искажения, и дифрагированной волны, источником которой служит край отверстия. Однако на этом подходе мы подробно останавливаться не будем.

(1.2.41)

где

Интегралы существенно упрощаются после замены переменных

и переходят в следующие интегралы

где пределы интегрирования определяются соотношениями

Интегралы Ф(x') и Ф(y') можно выразить через табулированные функции, известные под названием интегралов Френеля. Последние определяются выражениями

(1.2.43)

Учитывая, что

(1.2.44)

можно записать

(1.2.45)

Наконец, подставляя (1.2.45) в (1.2.41), получаем распределение комплексного поля

(1.2.46)

и соответствующее распределение интенсивности

(1.2.47)
 

Для интерпретации этих выражений удобно воспользоваться графическим построением, которое называется спиралью Корню; спираль Корню (рис. 1.2.3) представляет собой совместный график зависимости C(a ) и S (a ) от параметра a .

Заметим, что величину C(a )+iS(a ) можно считать комплексным фазором, соединяющим начало координат с точкой a на спирали. Следовательно, величина  представляет собой фазор, определяемый участком спирали между точками x 1 и x 2. Используя подобный графический метод, можно вычислить значение выражений (1.2.46) и (1.2.47) в каждой точке дифракционной картины.

Пусть в некоторой плоскости {x,y,0} задана комплексная амплитуда  световой волны, распространяющейся в положительном направлении оси z. Рассмотрим трансформацию поля волны при ее распространении. Выясним сначала, какой физический смысл имеет фурье-образ функции .

В плоскости {x,y,0} двумерный фурье-образ функции Y имеет вид

. (1.2.48)

С помощью фурье-образа  функцию y можно представить в виде совокупности простых экспоненциальных функций

. (1.2.49)

Из формулы (1.2.16) следует, что для комплексной амплитуды плоской волны справедливо выражение

, (1.2.50)

где a , b , g - направляющие косинусы нормали к фронту плоской волны, причем . Тем самым комплексную экспоненциальную функцию , входящую в выражение (1.2.42), можно рассматривать как плоскую волну с направляющими косинусами

(1.2.44)

и комплексной амплитудой, равной , где , . Таким образом, можно считать, что выражение (1.2.42) задает угловой спектр возмущения  в плоскость, параллельную первоначальной, но смещенную от нее на расстояние z, ее угловые составляющие сохранят свои амплитуды. Все изменения сведутся лишь к изменению фаз угловых составляющих спектра, поскольку плоские волны, распространяясь под разными углами, проходят разные расстояния. Иная ситуация будет иметь место, если на пути распространения волны будут находиться какие-либо препятствия.

Предположим, что на пути распространения волны с угловым спектром  находится экран с амплитудным коэффициентом пропускания t(x,y). В плоскости непосредственно за экраном распределение поля можно записать в виде

, (1.2.45)

где  - поле падающей волны. По теореме свертки - важнейшей теореме анализа Фурье, - для углового спектра пропущенной экраном волны  будет справедливо выражение

, (1.2.46)

где Т - фурье-образ функции t(x,y).

Если на экран перпендикулярно падает плоская волна единичной амплитуды, то ее угловой спектр будет определяться d -функцией

. (1.2.47)

В этом случае (1.2.46) упрощается

. (1.2.48)

Таким образом, для рассмотренного частного случая угловой спектр дифрагированной волны представляет собой фурье-образ функции пропускания t(x,y). Как правило, помещение на пути распространения волны какой-либо ограничивающей апертуры приводит к существенному уширению углового спектра, причем это уширение тем больше, чем меньше размер апертуры.

Применим теперь анализ Фурье для описания дифракции Фраунгофера на отверстии. Разложим квадратичные члены в экспоненте, стоящей под интегралом в выражении (1.2.40), ограничиваясь случаем, когда :

? , (1.2.49)

.

Учтем также, что при дифракции Фраунгофера

. (1.2.50)

Тогда можно считать, что квадратичная фазовая функция  приблизительно равна единице по всему отверстию, и в точке с координатами  поле равно

.

(1.2.51)

Поскольку последний интеграл представляет собой фактически фурье-образ функции  с пространственными частотами , то обозначая фурье-образ как , имеем

. (1.2.52)

Отсюда видно, что расчет распределения поля дифрагированной волны фактически сводится к нахождению фурье-образа поля сразу за экраном. Если экран освещается плоской когерентной волной с единичной амплитудой, то . Ниже приводятся фурье-образы функций пропускания для наиболее важных в практическом отношении случаев.

1. Прямоугольное отверстие

, (1.2.53)

- размеры отверстий соответственно в направлении х и у,

, (1.2.54)

где .

2. Круглое отверстие

, (1.2.55)

D -диаметр отверстия,

, (1.2.56)

где  - функция Бесселя первого порядка.

3. Синусоидальная амплитудная решетка

; (1.2.57)

L - размер квадратной решетки,  - ее частота, m - разность между максимальным и минимальным пропусканием.

. (1.2.58)

4. Дифракционная решетка - непрозрачный экран размером L, имеющий N щелей шириной а (щели располагаются строго периодически в направлении у, на расстоянии b одна за другой, так что период решетки составляет d=a+b)

. (1.2.59)

5. "Мягкая" диафрагма с гауссовым профилем пропускания

, (1.2.60)

. (1.2.61)

На последнем примере следует остановиться особо. Из формул (1.2.60) и (1.2.61) следует, что, если световая волна имеет в поперечном сечении гауссово распределение амплитуды (такую волну можно получить, например, пропуская плоскую однородную волну через диафрагму с профилем (1.2.60), то ее фурье-образ также будет характеризоваться функцией Гаусса. Благодаря этому обстоятельству, "гауссовый" световой пучок, распространяясь в свободном пространстве, будет сохранять неизменной форму распределения амплитуды поля. Более подробно свойства гауссова пучка будут рассмотрены в следующей главе.

(1.2.62)

где  - поле в отсутствие экрана. Соотношение (1.2.62) непосредственно следует из (1.2.40), если интегрирование в этом соотношении выполнить по всей плоскости. Остается лишь предположить, что поля  и  на отверстиях первого и второго экрана совпадают с полем , которое имеет место в отсутствие экрана. Вообще говоря, принцип Бабине выполняется лишь приближенно, так как  и  не равны , но нарушение (1.2.62) существенно лишь вблизи границ диафрагм.

Второй случай относится к дифракционным полям, имеющим вид периодических функций. Он имеет интересные приложения для теории решеток и теории модульных лазерных систем.

Пусть цилиндрическое поле , фаза которого не зависит от координаты y, в плоскости z=0 записывается в виде

(1.2.63)

где  - периодическая функция координаты x, содержащая столько гармоник N, что . Тогда для ближней зоны дифракции можно использовать дифракционную формулу Френеля (1.2.40), и мы имеем

(1.2.64)

Следует заметить, что в частном случае  (q=1, 2, ...) имеет место соотношение , так что

(1.2.65)

Отсюда следует, что во всех плоскостях zq распределение интенсивности поля одинаково. Это свойство называют эффектом Талбота, или эффектом самовоспроизведения. Оно было впервые замечено Талботом в 1836 г. и имеет весьма важные применения в фурье-спектроскопии, интерферометрии и оптике лазеров.

Применение скалярных методов для описания дифракции линейно поляризованной волны приводит к еще одному серьезному противоречию. оно состоит в том, что скалярные методы приводят к выводу о наличии продольных компонент поля за экраном (рис. 1.2.4.). Тем самым существует необходимость построения теории дифракции на основе более

последовательного векторного подхода.

Формальное обобщение метода Кирхгофа на случай векторных полей можно осуществить, записав для каждого компонента вектора  интеграл Кирхгофа (1.2.25), а затем, сложив их векторно. В результате этой процедуры получается следующее выражение для :
 

(1.2.66)

Учитывая, что  и , путем математических преобразований, получаем

(1.2.67)

где m - магнитная проницаемость среды.

Аналогичное выражение можно получить и для вектора .

Определяемый формулой (1.2.67) вектор  не будет удовлетворять уравнениям Максвелла. Причина состоит в том, что тангенциальные компоненты векторов  и  терпят разрыв при переходе через границу контура отверстия. Для того, чтобы удовлетворить условиям непрерывности, необходимо ввести некоторое распределение зарядов и токов на контуре отверстия в экране.

Электродинамический анализ показывает, что самосогласованное поле дифрагированной волны с учетом дополнительных источников поля, обусловленных указанными зарядами, получается добавлением к поверхностному интегралу (1.2.67) интеграла по контуру отверстия

(1.2.68)

где t - единичный вектор, касательный к элементу контура отверстия dl. Обход контура диафрагмы осуществляется против часовой стрелки, если смотреть из точки, в которой определяется поле. С увеличением расстояния от точки наблюдения до отверстия вклад интеграла по контуру в величину поля снижается и на расстояниях многих длин волн им вообще можно пренебречь.