Äîêóìåíò âçÿò èç êýøà ïîèñêîâîé ìàøèíû. Àäðåñ îðèãèíàëüíîãî äîêóìåíòà : http://olympiad.cs.msu.su/wp-content/uploads/2011/03/solutions_main.pdf Äàòà èçìåíåíèÿ: Mon Mar 28 14:34:30 2011 Äàòà èíäåêñèðîâàíèÿ: Sat Apr 9 22:11:25 2016 Êîäèðîâêà: ISO8859-5

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a, b, c


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a = 1, b = 6, c = 8ÅÊ

a, b, c

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b)È

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a)

in S1 ax S1 in S2 ax S2

È

^ S1 ^ S1 ^ S2 ^ S2

- - - -

max(a + min(a + max(ab) min(ab)

b) b) = =

= = 85 85

60 60 - -

- - (4 (1

(4 + 5) = 51 (1 + 2) = 57 Ç 5) = 65 Ç 2) = 83Ê

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125 = 53 < 27 = 128Ê < 16 Ç (47 )287 = 42011 Ê

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(ij ) - (ac + bd + ef ) = 175 - (ac + bd + ef ). S2 = ac + bd + ef

a, b, c, d, e, f

È
2 2 2

È

{1, 2, 3, 4, 5, 6}
6

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2(ac + bd + ef ) = (a + c) + (b + d) + (e + f ) -

i2 =
i=1



È

= (a + c)2 + (b + d)2 + (e + f )2 - 91.

(a + c) + (b + d) + (e + (a + c)2 + (b + d)2 + (e + f )2 3 3 È S2 = ac + bd + ef 28Ê È S1 175 - 28 = 147Ê S1 È a = 1, b = 2, c = 6, d = 5, e = 3, f = 4Ê S1 Ê 2 2xy x + y 2 È x = yÊ xy È 2xy È È x=y 2xy < x2 + y 2 È 2xy x2 + y 2 - 1Ê È 2ac a2 + c2 - 1, 2bd b2 + d2 - 1, 2ef e2 + f 2 - 1,

f)

= 7,
2

= 175 - S

(x - y )2 x2 + y
2

0


6

2S2 = 2(ac + bd + ef )
i=1

i2 - 3 = 91 - 3 = 88. S
1

S1 = 175 - S2 175 - 44 = 131Ê a = 1, b = 3, c = 2, d = 4, e = 5, f = 6Ê

AB

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AB C D
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S

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È a1 È SF E C d1 È SE F B Ä

AB

h1 , h2 , h3 D, F, C
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CD = b1 È SE

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h3 b2 = h3 = 5h1 , h2 = 3h1 , d1 h1 h3 5 d2 h2 b2 = =, = = 3. b1 h2 3 d1 h1

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b1 = d2

Ê

È

5 b1 = d2 = 3d1 , b2 = b1 = 5d1 . 3

È

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5 a2 = c1 = 3a1 , c2 = c1 = 5a1 . 3

()


S = a1 + b1 + a2 + b2 = c1 + d1 + c2 + d2 ()È ()È S = a1 + 3d1 + 3a1 + 5d1 , S = 3a1 + d1 + 5a1 + 3d1 , SAB SAB

Ê
a1 = d1 , S = 12a1 ,

S = 4a1 + 8d1 , S = 8a1 + 4d1 ,

CF CD

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S - a1 11S = . S 12 a1 = d1

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AD a1 = d1 AB C D
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()È () B C ||E F Ê

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AB C D SDAF = S

AD||E F Ê SF B C c2 = b2 = S AD||E F È

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2x2 - 12x + 26 +


2x2 - 18x + 45.

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Ê

(x - 1)2 + ((x + 2) - 7)2 + AM B M È (1; 7)È B (6; 5)È lÈ AB

È

(x - 6)2 + ((x + 2) - 5)2 = D. D (x; x + 2)È y = x + 2Ê D

A M

È

AB lÈ min D = |AB | = (6 - 1)2 + (5 - 7)2 = 29Ê

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2013Ê 2011

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i + 2007(a + b),
i=1

max S - min S = 2007(max(a + b) - min(a + b)) = 2007((2013 + 2012) - (1 + 2)) = 2007 Ç 4022 = 8072154.
Ä ÅÊ

(x, y , z )È 4x + 5y = 9z .

(1, 1, 1)Ê




Ê

4x + 5y = 9z (3z - 2x )(3z + 2x ) = 5y k È l Äk lÈ k + l = y ÅÈ 5l + 5k = 2 Ç 3z , 5l - 5k = 2x+1 , 5l + 1 = 2 Ç 3z , 5l - 1 = 2x+1 , 2x È z = 2t Ät N ÅÊ 3t - 1 = 2a , 3t + 1 = 2b , 5k (5l 5k (5l
-k -k

3z - 2x = 5k , 3z + 2x = 5l , k = 0È

+ 1) = 2 Ç 3z , - 1) = 2x+1 ,

( )

3z - 2x = 1Ê z = 1È x2 (1, 1, 1)Ê z ÍÈ

È

Ê È

x=1 (x, y , z ) =

3z (3t - 1)(3t + 1) = 2x aÈ b Äa < bÈ a + b = xÅÈ

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2b - 2a = 2È 2a (2b-a - 1) = 2Ê È a {0, 1}Ê È È a = 1È b = 2È t = 1È z = 2È x = 3È

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2S1 > S

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a = cos 5 2 4a - 2a - 1 = 0 a = È cos = 1+4 5 È 5

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5

= sin (3 - 4(1 - cos2 ))È 5



1+ 5 ( 4 tg2 5

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a > 0)Ê 2S

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2 > 3, 12 = 9, 61 > 5 + 2 Ç 2, 3 > 5 + 2 5.


tg x > x

x (0; )Ê
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tg x > x +

x3 3

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5x2 + 20Ê

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5x2 + 22x + 37 +

(x - 1)2 + ((2 - 2x) - 8)2 + AM B M È (1; 8)È B (-4; 0)È lÈ AB

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(x + 4)2 + (2 - 2x)2 = D. D (x; 2 - 2x)È y = 2 - 2xÊ

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AB lÈ 2 + (8 - 0)2 = min D = |AB | = (1 - (-4)) 89Ê

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