Äîêóìåíò âçÿò èç êýøà ïîèñêîâîé ìàøèíû. Àäðåñ îðèãèíàëüíîãî äîêóìåíòà : http://old.philol.msu.ru/~lex/khmelev/published/fpm/fpm.ps Äàòà èçìåíåíèÿ: Thu Oct 17 00:00:00 2002 Äàòà èíäåêñèðîâàíèÿ: Mon Oct 1 22:06:01 2012 Êîäèðîâêà:

########## #######
### ############## ############ ##### \Lambda
#. #. #### ¨
##
########## ############### ###########
##. #. #. ##########
e­mail: dima@vvv.srcc.msu.su
### 519.216
######## #####: ########## #######, ############ ########, ######­
###### ####, ##########, ########## ################ #########, ######­
###### #####, ########## ############### ############.
#########
############### ################## ####### ############# #########­
### ####, ####### ########### ########### ########## UN (t). ########
############## # ########## ############ ############## #############­
## ############ R ff . ######## ########## UN (t) ## ########### # ##########
############ ####### g ! u(t; g) (# ############# ########## #########
############# UN (0) ! 0). ############ ####### ######## ############
############ #####, # ####### ### N ! 1 ######## ############ ####
######## UN (t).
Abstract
D. V. Khmelev, Limit theorems for asymmetric transportation networks, Fun­
damentalnaya i prikladnaya matematika, vol. 7 (2001), no. 4, pp. 1259--1266.
We consider a model of an asymmetric transportation network. The transporta­
tion network is described by the Markov process UN (t). This process has values
in a compact subset of the finite­dimensional real vector space R ff . We prove that
UN (t) converges in distribution to a non­linear dynamical system g ! u(t; g) (as­
suming convergence of initial distributions UN (0) ! g), where g 2 R ff . The dy­
namical system has the only invariant measure to which the invariant measures of
processes UN (t) converge as N !1.
######## ################ ######### ###### ## ####### ########### ##­
########## ######## ########## ######## ############ # ##### ##########­
### ##########, ##., ########, [1--5]. # ###### ###### ############### ####
## N ##### (#######), ####### ####### ## n #######. ### ########## N ####­
###### ####### ######## ##########. ########## ####### # ###### j #####
d N
j N ,
n
P
j=1
d N
j = 1, d N
j N --- ##### ##### ### ###### j # N . ########## #####
d j ? 0, ###
p
N (d N
j \Gamma d j ) N!1 \Gamma! 0 ### j = 1; n. ##### j # v ########## #####
\Lambda ###### ######## ########## ####### ISSEP s98­2042.
############### # ########## ##########, 2001, ### 7, # 4, #. 1259--1266.
c
fl 2001 ##### ##### ############## ########## ###,
############ ### ######### ########

1260 #. #. #### ¨
##
###### # ##### ######### ######## ## 1 ## n. ## ####### # ###### j #####­
##### ######### ############# ####### # ############## – j ? 0. #### ##
####### ### ## ###### #######, ###### ########. ##### ###### ##########
######.
########### ############ ######### #######. ###### ######## #####­
###### #### (j; v) # ############ p jv , ####¨#### ### ############### ######­
###¨##### ##### # ############## ######### 1=¯ jv # ##### #############
###### ######## ####### # ###### v. ####### P = fp jv g j;v=1;n ##########­
####. ### ####### ###### v #########: ## ###### ## ### ##### ############
## ##### m v ########. #### ######, ####### ###### # ##### v, ## #######
######### #######, ## ## ############ (### ##########) # ########### ####
(v; l) # ############ ## ############## ######## e
P = f~p vl g v;l=1;n ; #######­
###### ## #### ######## # ###### j ######### r j ########, ### r j --- #####
##### ## 1 ## m j . ### #### ##### #### ####### #### ###########, ####­
###### ######### ###########: ####### (P + e
P )=2 ###### #### ########
########## ############ ########## #### #######. ######¨### ##########
####### ####### # ###, ### ####### ##### ####### ## ###### ###### # ##­
### ######. ### ####### ######## ########## #######, #################
# [1] # [4], # ####### ##########.
######### ##### f j;i ########## ##### # i ######### # ######## j, ##### V jv
########## ######## # ########### #### (j; v). #########
u j;i =
m j
X
k=i
f ji =N; M jv = V jv =N:
### j = 1; : : : ; n
d N
j = u j;0 ? u j;1 ? : : : ? u j;m j ? u j;m j +1 = 0 (1)
# ### v = 1; : : : ; n
M jv ? 0 #
n
X
j=1
` m j
X
i=1
u j;i +
n
X
v=1
M jv
'
=
n
X
j=1
r j d N
j : (2)
######### ##### UN ######### ########
u = (u 1;1 ; : : : ; u 1;m1 ; u 2;1 ; : : : ; u n;mn ; M 11 ; M 12 ; : : : ; Mnn ) T ;
############### (1) # (2), ### u j;i = x j;i =N , M jv = y jv =N # x j;i ; y jv --- ####­
########### ##### #####.
######### ##### U ######### ##### ########
u = (u 1;1 ; : : : ; u 1;m1 ; u 2;1 ; : : : ; un;mn ; M 11 ; M 12 ; : : : ; Mnn ) T ;
### ### j = 1; : : : ; n
d j = u j;0 ? u j;1 ? : : : ? u j;m j ? u j;m j +1 = 0 (3)

########## ####### ### ############## ############ #####1261
# ### v = 1; n
M jv ? 0 #
n
X
j=1
` m j
X
i=1
u j;i +
n
X
v=1
M jv
'
=
n
X
j=1
r j d j : (4)
########, UN ae (1=N )Z ff # U ae R ff , ### ff = n 2 +
n
P
j=1
k j . ### l = 1; : : : ; ff
######### ##### e l 2 R ff ######, # ######## ########## l ##### 1, # ###
######### --- ####.
##### e u j;i (e M jv ) --- ######### ###### e --(u j;i ) (e --(M jv ) ), ### --(u j;i )
(--(M jv )) ####¨## ########## # ####### u 2 U , ############### u j;i (M jv ).
## ####### #### ######## #######, ### ## ############# ##########
#### ####### # ############ ##########
AN f(u) =
Z
KN (u; dy)[f(u + y) \Gamma f(u)]; (5)
### KN (u; dy) --- ######### ########## ########## #### ### u 2 UN :
KN (u; dy) =
8 ? ? ? ? ? ? ? !
? ? ? ? ? ? ? :
### j = 1; n, i = 1; m j , v = 1; n
# ##### N– j (u j;i \Gamma u j;i+1 )p jv # ##### (\Gammae u j;i + eM jv )=N ,
### j; v = 1; n, i = 1; m v
# ##### N¯ jv M jv (u v;i\Gamma1 \Gamma u v;i )=d N
v # ##### (e uv;i \Gamma eM jv )=N ,
### j; v = 1; n, l = 1; n
# ##### N¯ jv M jv u v;mv ~
p vl =d N
v # ##### (\Gammae M jv + eMvl )=N ,
### u j;0 = d N
j # u j;m j +1 = 0. ####### ########### D(AN ) ######### AN ######­
## ######### ################ C(UN ) ########### ####### ## UN . ######
###### ##### ############# ######## ###### # #### # ###### j. ###### ####­
## ##### ############# ######## ####### # ##### v. ###### ###### #####
######### # ###### ############ ##### ######## # ###### v (u j;i \Gamma u j;i+1 ####
########### ####, ### ###### ######### #### ######### # ###### j # #####
i ########).
## ####### (####### 2), ### ### ###### ######### ######### #######
### N ! 1 ######## u ############# ###### ####### ##### # ##########
################# ######## ########### ######## ######### ####### ##­
######## ################ #########:
@u j;i
@t = M j u j;i\Gamma1 =d j \Gamma (– j +M j =d j )u j;i + – j u j;i+1 ;
@M jv
@t
= – j u j;1 p jv \Gamma ¯ jv M jv +M j u j;m j ~
p jv =d j
9 ? =
? ; (6)
### j; v = 1; n, i = 1; m j , ### u j;0 (t) = d j , u j;m j +1 (t) = 0 ### #### t # M j (t) =
=
n
P
l=1
¯ lj M lj (t). ##### ## ########## ####### (6) # ########## #########
u j;i (0) = g --(u j;i ) ; M jv (0) = g --(M jv ) : (7)
######### ##### u(t; g) ####### ###### #### (6) # (7), u(0; g) = g.

1262 #. #. #### ¨
##
########## ####### UN = UN (t), ############ ########## (5) ## ###­
####### # UN , ########## ########## TN (t) ## ############ ###########
####### C(UN ). #### f : UN ! R, ##
TN (t)f(u) = E(f(UN (t)) j UN (0) = u); u 2 UN :
##### fl N
j = d N
j =d j . ######## ######## jN : U ! R ff ########## u 2 U #
(fl N
1 u 1;1 ; : : : ; fl N
1 u 1;m1 ; fl N
2 u 2;1 ; : : : ; fl N
n un;mn ; M 11 ; M 12 ; : : : ; Mnn ) T . ####### ####­
####### D(jN ) ######### jN ######## ### u 2 U , ### ####### jN (u) 2 UN .
### x 2 R ff ####¨## #####
kxk =
ff
X
i=1
jx i j:
####### 1. ########### ######### ###########.
(#) # U ##########, ########### # ############# ############ #######
u(t; g) ###### #### (6), (7).
(#) # ######### U ########## ############ ############ #######
g \Lambda 2 U : u(t; g \Lambda ) = g \Lambda .
(#) ### ########## fl ? 0 ### ###### g 2 U ku(t; g) \Gamma g \Lambda k 6 const e \Gammatfl .
##### C(U) --- ######## ############ #######, ########### ## U .
####### 2. ### ##### f 2 C(U) ### ###### t ? 0
lim
N!1
sup
06s6t
sup
g2D(jN )
jT N (t)f(j(g)) \Gamma f(u(t; g))j = 0:
######### ##### '' g #############, ############### # ##### g 2 U .
####### 3. #### UN (0) ##### ######## # '' g , ##
8t sup
06s6t
kUN (t) \Gamma u(t; g)k ! 0 ## ###########.
########## ####### UN ######## ############ ############ ##### ¯N .
####### 4. ¯N ##### ######## # '' g \Lambda .
####### # ####### (6) ##### ##### ####### 0. ## ######## #########
####### ########## ############## #########:
0 = M j u j;i\Gamma1 =d j \Gamma (– j + M j =d j )u j;i + – j u j;i+1 ;
0 = – j u j;1 p jv \Gamma ¯ jv M jv + M j u j;m j ~
p jv =d j
)
(8)
### j; v = 1; n, i = 1; m j . # #### ###### (#) ####### 1 ########## # ####­
####### ####### (8), ############### (3) # (4). ##### ####### ########
############ ############ ######## (6).
##### x j;i = u j;i \Gamma u j;i+1 ### i = 0; : : : ; m j , x j;\Gamma1 = x j;m j +1 = 0. #######,
### u j;1 = x j;1 + : : : + x j;m j # u j;m j = x j;m j . ##### #########, ###
x j;i
d j
=
ae i
j (ae j \Gamma 1)
ae 1+m j
j \Gamma 1
; (9)

########## ####### ### ############## ############ #####1263
### ae j = M j =(– j d j ). ########, ### ##### (8) # (9) ### u j;i # M jv ##########
##### M j .
####¨## ####### a = (M 1 ; M 2 ; : : : ; M n ) T # b =
\Gamma M 1 u1;m 1
d1 ; : : : ; M n un;mn
dn
\Delta T
.
##### (9) u j;m j ########## ##### M j . ##########, ### b ########## ##### a.
##### (8) ######## #######
a T = (a \Gamma b(a)) T P + (b(a)) T e
P : (10)
##### u(a) ########## ####### (8), ########## ##### a. ##### ####### 1
########## # ########### ##### ####### (10), ### u(a) 2 U . ##### #######
### a ########## # ####### #######, ############# # ######### #######.
##### L(u) =
n
P
j=1
i m j
P
i=1
u j;i +
n
P
v=1
M jv
j
.
####### 5. ###########, ### P e
P ######## ############ ############
##### ú = (ú 1 ; : : : ; ún ) T , ú T P e
P = ú T , ú 1 + : : : + ún = 1, ú 1 ? 0; : : : ; ún ? 0.
########## ##### ############ i \Lambda ? 0, ###
#) #### e
P = I, ## ####### (10) ############# a \Gamma b(a) = i \Lambda ú,
#) #### P = I, ## ####### (10) ############# b(a) = i \Lambda ú,
#) #### P = e
P , ## ####### (10) #### a = i \Lambda ú.
########## ############ ####### a(i) ######### a \Gamma b(a) = iú. ####
0 ! i 1 ! i 2 , ## a(i 1 ) ! a(i 2 ). ########### ########### ##### # #######
#) # #).
#### i #############, ## L(u(a(i))) #############. ####### i \Lambda ? 0 ####­
#####
L(u(a(i \Lambda ))) = r 1 d 1 + : : : + r ndn :
########## # ###########.
######## # ########### ############ ###########.
############## ####### 1. ###########, ### p jv +~p jv ? 0 ### #####
j # v. ######### ## ###### ########## (P + e
P )=2 ## ########## #####.
######### (6) ##### ######## # ####
—
u = f (u); f : R ff ! R ff ; u 2 U ae R ff :
############# # ############## ####### ### ########## ##### ########
####### ## ####### ####### ############# # ##############. ##### (#)
####### 1 ####### ## ######### #####.
##### 6. ### ##### t ######### U ########### ############ u(t; \Delta).
############## ##### ####### [2, ##### 1] ### [4, ####### 2.1]. ######¨##
# ############## ####### (#) # (#).
##### 7. ########## ##### ####### U '' ae Int(U), ####### ###########
############ ########### u(t; \Delta) # 8g 2 U ## ########## ##### ##### t #####
u(t; g) 2 U '' .

1264 #. #. #### ¨
##
##############. ##### [6] ### ############## ########## ######## ##­
######## ######### #### #######:
(#) ### ##### ####### g ######### U ###### f (g) ## ##### #### # ###
########## ##### ffi ######### g + ffi f (g) 2 U ,
(#) ### ##### ##### \Gamma ae U (\Gamma 6= U), ### ###### g, ############## ######­
####### ############ \Gamma, ###### g + f (g) ## ########### ######## ########
#### ##### # ### ########## ##### ffi ######### g + ffi f (g) 2 U .
##### (#) ########### ###############. ######¨## # ############## ##­
######## ###### (#) # ##### #######.
### ###### g 2 U ########## g+ ffi f (g) 2 U ############ ####, ### #####­
#### U ########### ############ ####### —
u = f (u), ### ######## ## ##### 6.
######### ##### ¯
S ######### #### n 2 ############# ### (j; v) ##### ##­
### 1 6 j, v 6 n. ### S ae ¯
S ######### ######### GS = f##### \Gamma ae U j
8 (j; v) 2 S 8g 2 ri \Gamma hg; eM jv i ? 0 # 8(j; v) 2 ¯
S n S 8g 2 ri \Gamma hg; eM jv i = 0g.
#### S #####, ## 8g 2 \Gamma 2 GS 8(j; v) hg; eM jv i = 0. ######### L(g) =
= r 1 d 1 + : : : + r ndn ? 0, ######## j; i, ##### ### hg; e u j;i i ? 0, ## ##
########## ############### ######### ########, ### hg; e u j;1 i ? 0. ###­
## ############## ####### P ########## p jv 6= 0. ###### ########, ###
hf (g); eM jv i = – j hg; e u j;1 ip jv ? 0, # #############, g + f (g) =
2 aff \Gamma, #########
8h 2 aff \Gamma hh; eM jv i = 0.
##### ###### S= ¯
S. ### ######## ###### ####¨## ####### e u j;0 =e uj;m j +1 = 0.
### ############ # ######## ######### #### ####### ##### #######, ###
hg; e u j;0 i = d j (## hf (g); e u j;0 i = 0!). ### ##### ##### \Gamma 2 GS ##########
##### j # i, ### (i) 1 6 j 6 n, 0 6 i 6 m j ; (ii) 8g 2 ri(\Gamma) hg; eu j;i i = hg; eu j;i+1 i.
##### #########, ### hf (g); e u j;i \Gamma e u j;i+1 i ? 0, ### ######### ############
######.
########## ###### S 6= ¯
S # S 6= ?. ########## GS # #### ###########
GS = G 0
S [G 00
S , ### G 00
S = G S n G 0
S , # G 0
S = f\Gamma 2 G j ########## j; i; ##### ###
######### ####### (i) # (ii) ########### ###### # 9w (w; j) 2 Sg. ### #####
##### \Gamma 2 G 0
S ### ###### g 2 \Gamma ##### #########, ### hf (g); e u j;i \Gamma eu j;i+1 i ? 0,
### ######### ####### # ############ ######### G 00
S .
######### (P + e
P )=2 ? 0, 9(j; v) =
2 S 9w (w; j) 2 S: p jv 6= 0, ####
~
p jv 6= 0. ######### ###, ### 8g 2 \Gamma 2 G 00
S hg; e u j;1 i ? hg; e uj;m j
i ? 0, ####­
#### hf (g); eM jv i ? 0, ### # ###########.
#######, ### #### ############ ####### g \Lambda ##########, ## ##### ######­
### ##### g \Lambda 2 U '' . ### ## ##### ######### ########### (#) ###### ###
g 2 U '' .
######## ########## ####### ####### [4, ####### 3.3] ### ##### #######.
####### (6) ######## ############# #########: ####### ##### J(u) ##
####### ########### ###### ###### (6) ## ########### ####### u #####
############# ######## ###### ## ######### ### ###### u 2 U '' . #########
U '' #########, ##########
c = max
u2U ''
max
16i6ff
(\GammaJ ii (u)):

########## ####### ### ############## ############ #####1265
######### ##### I ######### #######. ##### ## ####### #############
##### ####### C, ###
(i) 8u 2 U '' J(u) + (c + 1)I ? C ? 0,
(ii) ########## ##### c 0 ? 0, ### ####### c 0 C T ######## ##############
######## ########## ############ ########## ########## #### #######.
# #### ###### ## [4, ####### 3.3] ########, ### ### ###### Ü ? 0 ###­
######## u(Ü; \Delta) : U '' ! U '' ######## ######### # ############# ######,
####### 1, #. #. 8g 1 ; g 2 2 U '' ku(Ü; g 2 ) \Gamma u(Ü; g 1 )k 6 `kg 2 \Gamma g 1 k, ` ! 1. #####­
###### (#) # (#) ####### 1 ########## ### ######### ####### # #########
########### # ###### ########### ############.
### ######## ############# ####### C ## ########## (i), (ii) ##########
#########, ### ### ############# u 2 U ####### J T (u) ######## #####­
### ############## ########## #### ####### ## ff ######### # ###########
########. ## ###### ##### ####### #######, ### ######### ######## #####
######### ###### ### J(u).
######### ######### #### # ######## ############## ######### J(u) ##­
### e u j;i # eM jv . ############# ######## ##### ########### e l # e s #####
J ls (u).
######## eu j;i $ eu j;i+1 ### i = 1; : : : ; m j \Gamma 1 ##### #####, #########
####### ########### —
u j;i ## u j;i+1 ##### – j ? 0, # ####### ########### —
u j;i ##
u j;i\Gamma1 ##### M j =d j ? 0 (#######, ### M j ? 0 ######### u 2 U '' ).
########### —
u j;i ## M kj ##### ¯ kj (u j;i\Gamma1 \Gamma u j;i )=d j ? 0, # #############,
######## ####### ######### e u j;i !M kj ### ############# k.
#### ####### ########### —
M jv ## u j;1 , ########## # ####### ########
eM jv ! e u j;1 ### p jv ? 0 # ######## eM jv ! e uj;m j
### ~ p jv ? 0.
#############, ### ###### k #### ############## ##### eM jv ! eMkj ###
p jv + ~
p jv ? 0. # #### ####, ### (P + e
P )=2 ? 0, ### ######### feu j;i , eM jv g
######## #############. ######### U '' ######## ## ####### U , ########
######### ########### ### ###### u 2 U '' # ## ########## ### ###### ##­
###### ## #### ##### u 2 U '' , # #############, (i) ##########, # ####### 1
########.
## ##### ####### # ########## ########## ######### (##. [8, ##### 1,
####### 6.1]) ########## [2] ### [4] ############ ############## ####### 2.
####### 3 ######## ## ####### 2 #, ########, [8, ##### 4, ####### 2.11].
##### ####, ####### ##### ######## ## ###### # ########## ##### ########­
### ########## ######### [7, ### 2, ##### IX, ######## 4b]. ### ## ########
####¨## ###### ######## ########## (########## ##### ####### 1=
p
N ).
############## ####### 4. ## ############ U ########, ### ######­
####### #### ## UN ######## #########, ########## ############ ######
##########. ## ####### 2 #######, ### ###### #### ¯, ########## ##########
###### ### ################## ### ¯N jN , ########### ############ ######­
##### u(t; \Delta) : U ! U . ##### ####### (#) # (#) ####### 1 ¯ ######### # #####,
############### # ##### g \Lambda , ### ######### ##############.

1266 #. #. #### ¨
##
########### ####### 5 ########### ############### ######## ######­
## ############### #######.
##### ####### ######## ###### ######## ############# ###### ######­
## ############ #. #. ########### ## ############## ########## #### #
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