510200-ДНМ05   Дополнительные главы исследования операций

1. Алгебpаическая хаpактеpизация базисных pешений задачи ЛП в фоpме pавенств. 
    Связь с угловыми pешениями исходной задачи ЛП.
2. Движение по pебpу от одного базисного pешения к дpугому.
3. Пpеобpазование задачи ЛП и симплекс-метод.
4. Пpеодоление зацикливания.
5. Пpиведение задачи ЛП к стандаpтной фоpме.
6. Двойственная задача ЛП, ее интеpпpетация и метод выписывания.
7. Теоpема двойственности и ее следствия.
8. Двойственный симплекс-метод.
9. Симплекс-метод для задачи ЛП с двустоpонними огpаничениями.
10.Поиск начального базисного решения транспортной задачи и его свойства.
11.Метод поиска оптимального решения транспортной задачи.
12.Задача целочисленного ЛП и ее pешение методом ветвей и гpаниц.
13.Метод Балаша для задачи булевого пpогpаммиpования.
14.Метод динамического пpогpаммиpования для задачи с сепаpабельной целевой функцией.
15.Метод динамического пpогpаммиpования для задачи с мультипликативной целевой функцией.
16.Достаточные условия оптимальности стpатегии для маpковских 
    пpоцессов пpинятия pешений с бесконечным вpеменем планиpования.
17.Метод улучшения стационаpной стpатегии и алгоpитм Ховарда постpоения стационаpной оптимальной стpатегии.
18.Метод постpоения оптимальной стpатегии для маpковских пpоцессов 
    пpинятия pешений с конечным вpеменем планиpования.

Курс читает  доцент, к.ф.-м.н. Морозов В.В.

3- ий семестр.
Трудоемкость курса   - 2 академических часа в неделю, 1 лекция 
Форма контроля         - экзамен.

  510212-СДМ01   Дополнительные главы актуарной математики

Данный курс является дополнением курса 'Актуарная математика' и ставит перед собой задачи применения изученных ранее тем по расчету величины премий и резервов в моделях денежных потоков, а так же в расчете страхования статусов совместного проживания и последнего живущего и пенсионных схемах. Изучение динамики денежных потоков необходимо для оценки текущего финансового состояния страховой компании в процессе действия полиса. Рассматриваемые в курсе темы позволяют выявить различные инструменты для анализа данного состояния и для повышения прибыльности и надежности страховой организации. В практике страхования часто объектом страхования является не один страхователь, а несколько, например, семья. Такой объединенный состав страхователей называется статусом. Поэтому страхование статуса имеет свои особенности, раскрываемые в курсе. При страховании, чаще всего пенсионном, причиной выхода из состава страхователей может быть не только смерть или дожитие до определенного возраста, но и многие другие причины. Страхование этих причин раскрывается в темах по страхованию многих декрементов. Завершающей темой курса является оценивание пенсионных схем, где для оценки величины будущей пенсии рассматриваются изученные в курсе модели многих декрементов. Курс сопровождается упражнениями по всем темам.

Динамика финансовых потоков в страховании.
Оценка ожидаемых будущих денежных потоков. Финансовый нетто поток в конце года. Виды финансовых потоков для различных видов страхования.

Показатели прибыли для страхования.
Оценка резервов и величина текущей прибыли для различных видов страхования. Подпись прибыли, рисковая ставка дисконта, современная стоимость прибыли, маржа прибыли. Критерий прибыли, дисконтированный период самоокупаемости, внутренняя норма доходности. Тестирование прибыли, методы денежных потоков при резервировании.

Актуарный базис.
Выбор актуарного базиса при расчете тарифов, издержек и резервов. Анализ чувствительности величины премий и резервов при выборе актуарного базиса.

Страхование статусов.
Основные виды статусов. Вероятностные характеристики дожития статусов. Расчет страховых премий и резервов при страховании основных видов статусов. Аналитические законы смертности статусов.

Модели многих декрементов.
Характеристики совместного распределения случайных величин: вида причины выхода из текущего статуса и времени сохранения текущего статуса. Таблицы многих декрементов, ассоциированные таблицы одного декремента, соотношение между основными показателями этих таблиц. Вычисление значений показателей таблицы многих декрементов при гипотезе равномерного распределения выхода из статуса и гипотезы постоянной интенсивности выхода из статуса. Построение таблиц многих декрементов по соответствующим таблицам одиночного декремента. Вычисление страховых премий при страховании от многих декрементов.

Оценивание в пенсионных схемах.
Основные виды расчета величин пенсий в зависимости от суммарной величины пенсионных взносов. Расчет величины пенсий при различных видах выбытия с работы.

Курс читают  - профессор, д.ф.-м.н. Белолипецкий А.А., доцент к.ф.-м.н. Денисов Д.В.
1- ий семестр.
Трудоемкость курса   - 2 академических часа в неделю, 1 лекция 
Форма контроля         - зачет.

 510212-СДМ02   Теория оптимизации

Начальные сведения. Постановка и классификация задач оптимизации. Условия существования глобального решения.

Линейное программирование. Теория линейного программирования. Симплекс-метод.

Нелинейное программирование. Элементы выпуклого анализа. Условия первого порядка оптимальности в задаче оптимизации на выпуклом множестве. Условия первого и второго порядков оптимальности в задаче безусловной оптимизации, в задаче с ограничениями-равенствами (принцип Лагранжа), в задаче со смешанными ограничениями (условия Каруша-Куна-Таккера).

Курс читает       профессор, д.ф.-м.н.  А.Ф.Измайлов

1-ой семестр.
Трудоемкость курса   - 2 академических часа в неделю, лекции.
Форма контроля         - экзамен.

 510212-СДМ03   Математика сложных процентов

В курсе подробно рассматривается математическая теория процента, что включает в себя как экономические, так и финансовые аспекты. Взаимосвязь активов и пассивов и методы, используемые финансовыми институтами для балансирования стоимости активов и пассивов, также рассматриваются в курсе. Рассматривается понятие 'меры срочности' или 'дюрации' портфеля финансовых инструментов и метод 'иммунизации' - классический метод хеджирования портфеля процентных финансовых инструментов. В первой части курса превалирует детерминистский подход к анализу процентных ставок и кривых доходности. Особое внимание уделено методам дисконтированных денежных платежей и капитального бюджетирования. Во второй части рассматривается модель CAPM, а также ряд подходов к оценке современных нелинейных финансовых инструментов.

Курс содержит большое количество примеров и упражнений.

Курс читает  к.ф.-м.н., доцент   Давидсон М.Р.

1-ой семестр.
Трудоемкость курса   - 2 академических часа в неделю, лекции.
Форма контроля         - зачет.

1. Методы макроэкономического анализа.  
2. Основные макроэкономические показатели
3. Макроэкономические взаимосвязи
            3.1. Деньги. Денежно-кредитная политика.
            3.2. Макроэкономическая нестабильность: инфляция и безработица.
            3.3. Государственный бюджет и фискальная политика.
            3.4. Внешнеэкономические связи
4. Макроэкономические модели.
            4.1. Кейнсианская модель IS-LM
            4.2. Неоклассическая модель: основания и предпосылки.
            4.3. Модель экономического роста Солоу - Свана

Курс читает   к.ф.-м.н. Поспелова И.И.

1 и 2-ой семестр.
Трудоемкость курса   - 2 академических часа в неделю, лекции.
Форма контроля         - зачет, экзамен

510212-СДМ05   Теория эконометрики 
510212-СДМ06   Практикум эконометрики 

Введение в эконометрику. Пространственные данные и временные ряды. Примеры. Объясняющие и объясняемые переменные. Модель парной регрессии. Метод наименьших квадратов (МНК). Классическая нормальная линейная регрессионная модель. Гомоскедастичность, гетероскедастичность, автокорреляция. Теорема Гаусса - Маркова. Наилучшая оценка в классе несмещенных линейных оценок. Оценка дисперсии ошибок. Необходимые статистические распределения. Статистические свойства МНК-оценок параметров регрессии. Доверительные интервалы для коэффициентов регрессии. Коэффициент детерминации. Метод максимального правдоподобия. Модель множественной регрессии. Метод наименьших квадратов. Статистические свойства МНК-оценок. Коэффициент детерминации для модели множественной регрессии. Скорректированный коэффициент детерминации. Проверка статистических гипотез. Тест Чоу. Мультиколлинеарность. Фиктивные переменные. Спецификация модели множественной регрессии. Обобщенный метод наименьших квадратов. Гетероскедастичность. Тест на гетероскедастичность. Корреляция по времени. Авторегрессионая модель. Тест Дарбина-Уотсона. Введение в анализ временных рядов. Прогнозирование. Системы регрессионных уравнений.

Курс читает   к.ф.-м.н. Васина П.А.

2-ой семестр.
Трудоемкость курса   - 4 академических часа в неделю, лекции и практикум.
Форма контроля         - экзамен и зачет.

 510212-СДМ07    Теория некооперативных игр в экономике

1Определение антагонистической игры и ее решения. Теоpема о необходимом и достаточном условии существования седловой точки. Метод поиска седловых точек. Условия существования максиминных и минимаксных стратегий. Теоpема существования седловой точки у вогнуто-выпуклой функции.

Смешанное расширение антагонистической игры. Основная теорема матричных игр. Основная теорема непрерывных игр. Свойства решений антагонистических игр в смешанных стратегиях. 

Теоремы о доминировании строк и столбцов в матричных играх. Графический метод решения матричных игр вида 2*n и m*2. Сведение решения матричной игры к паре двойственных задач линейного прогpаммирования. Необходимые условия для пары крайних оптимальных стратегий матричной игры. Метод Брауна решения матричных игр.

Решение антагонистических игр с вогнутыми функциями выигрыша. Исследование модели "оборона-нападение " в чистых стратегиях. Исследование модели "оборона-нападение " в смешанных стратегиях. Исследование модели шумной дуэли.
Определение многошаговой антагонистической игры с полной информацией. Теоpема Цермело о pешении многошаговой игpы с полной информацией.

Ситуация равновесия игры многих лиц и ее недостатки. Теоpема существования ситуаций pавновесия для игpы многих лиц. Метод поиска ситуаций pавновесия с использованием функций наилучших ответов. Свойства ситуаций pавновесия в смешанных стратегиях биматричных игр. Решение биматричных игр в смешанных стратегиях.

Определение иерархических игр двух лиц Г1, Г2,Г3. Решение игры Г1. Теорема Гермейера о решении игры Г2.
Задача многокритериальной оптимизации и условия существования парето-оптимальных стратегий. Представление множества оптимальных по Слейтеру стратегий с использованием свертки типа "минимум".

Hеобходимые и достаточные условия для оптимальных по Слейтеру стратегий в выпуклой многокритериальной задаче.
Задача принятия решения при наличии бинарного отношения.

Метод сужения множества парето-оптимальных стратегий на основе информации о сравнительной важности или равноценности критериев. Задача сравнения управляемых динамических объектов.

Математическая модель операции. Оценка эффективности стратегии /в т.ч. смешанной/ в операции.
Вид наилучшего гарантированного результата в случае, когда во множестве стратегий существуют абсолютно-оптимальные стратегии.

Теорема о производной по направлению функции минимума и вытекающее из нее необходимое условие для максиминной стратегии. Необходимые условия оптимальности для максиминной стратегии из отрезка и следствия.

Принцип уравнивания Гермейера. Условия оптимальности и алгоритм для задачи дискретного максимина. Лемма Гиббса. Задача поиска объекта. Критеpий Гросса и алгоритм для задачи выпуклого целочисленного прогpаммирования.

Курс читает доцент, к.ф.- м.н. Морозов В.В.

3-ий семестр.
Трудоемкость курса   - 4 академических часа в неделю, лекции.
Форма контроля         - экзамен.

Начальные сведения. Классификация методов оптимизации. Понятия сходимости. Оценки скорости сходимости. Правила остановки. Методы одномерной оптимизации.

 Методы безусловной оптимизации. Методы спуска. Метод Ньютона, квазиньютоновские методы. Методы сопряженных направлений. Методы нулевого порядка.

 Методы условной оптимизации. Методы решения задач с простыми ограничениями (методы проекции градиента, условного градиента, условные методы Ньютона). Методы возможных направлений. Методы решения задач c ограничениями-равенствами (ньютоновские методы для системы Лагранжа, метод квадратичного штрафа, модифицированные функции Лагранжа и точные гладкие штрафные функции).

Курс читает  профессор, д.ф.-м.н.. Измаилов А.Ф.

3-ий семестр.
Трудоемкость курса   - 2 академических часа в неделю, лекции.
Форма контроля         - зачет

 510212-СДМ09    Приложения эконометрики
510212-СДМ10    Практикум по приложения эконометрики

Основные модели и методы эконометрического анализа временных рядов. Практическое применение и особенности. Вывод эконометрических (естественных) законов для опытных данных, прогнозирование, интерпретация данных и подтверждение гипотезы соответствия экономическим временным рядам. Моделирования случайных процессов, постоянные и непостоянные временные ряды, спектральный анализ временных рядов. Различные аспекты методов, их свойства, адекватность и приложение в прогнозировании. Необходимы основные понятия линейной алгебры, математического анализа, теории вероятности и математической статистики.

Курс читают  Т.В. Белянкина, Департамент Страхового Надзора Минфин РФ, начальник отдела; П.А. Васина, консультант ООО Карана

4-ый семестр.
Трудоемкость курса   - 4 академических часа в неделю, лекции и зачет
Форма контроля         - экзамен и зачет.

 510200-ДНМ06   Дисциплина по выбору студента
510212-СДМ12    Дисциплина по выбору студента

Список курсов по выбору:

Математические модели несовершенной конкуренции и налоговой оптимизации
I. Модели несовершенной конкуренции. Олигополия Курно. Конкуренция функций предложения. Соотношение между равновесиями Нэша, конкурентным равновесием и исходом по Курно. Олигополия Бертрана-Эджворта. Последовательность цен отсечения для различных правил рационирования. Двухэтапные рынки: назначение цен после назначения объемов. Условие эквивалентности олигополии Курно. Назначение объемов после назначения цен. Эквивалентность модели конкурентной цены. Дуополия с непостоянными ценами. Регулирование производственных мощностей. Соответствие совершенного подыгрового равновесия монопольной цене.

II. Налоговая оптимизация в условиях уклонения от налогов. Теоремы благосостояния. Предельные тяготы налогообложения. Оптимизация ставок подоходного налога. Различные виды штрафов за уклонение и ограничения участия. Устойчивость оптимальной стратегии к уклонению. Налогообложение предприятий. Вмененный налог и налог с продаж. Оптимальное налоговое правило при данных налоговых ставках. Оптимальность вмененного налога, линейно зависящего от функции производственных мощностей.

III. Модели, учитывающие коррупцию. Оптимальное поведение агентов и чистый налоговый доход в зависимости от стратегии государства. Оптимальная стратегия налогового принуждения. Влияние случайных ошибок налогоплательщиков и стоимости аудита для инспекторов на оптимальную стратегию налогового принуждения.

Курс читает  профессор, д.ф.-м.н., академик РАЕН Васин А.А.

Методы расчета рисков в страховании
I. Теория полезности. Функция полезности. Механизм принятия решений в области страхования. Принципы ожидаемого выигрыша и ожидаемой полезности. Понятие оптимального вида страхования. Оптимальность  останавливающего потери страхования.

II. Модель индивидуального риска. Способы вычисления распределения суммарного иска и нормальная аппроксимация этого иска.

III. Модель коллективного риска. Свойства обобщенных распределений: Пуассона, отрицательного биномиального и других. Свойства аддитивности обобщенного распределения Пуассона. Рекуррентное соотношение для данного распределения для дискретного распределения частного иска. Способы аппроксимации обобщенного распределения Пуассона.

IV. Элементы теории разорения. Общая формула для вероятности разорения в непрерывной и дискретном случаях и ее точные выражения для показательного распределения, а также для смеси показательных распределений.

V. Аппроксимация суммарного иска в модели индивидуального риска обобщенным распределением Пуассона. Теория перестрахования для модели коллективного риска. Оптимальность перестрахования превышения убытка.

Курс читает  - доцент к.ф.-м. н., генеральный директор Гильдии Актуариев Денисов Д.В.

Актуарная математика II
Тарификация страхового продукта. Анализ смертности, расходов, расторжений и финансовых факторов. Профиль прибыли. Тестирование прибыли. Требования по платежеспособности. Ставка доходности как случайная величина. Инвестиционная стратегия. Соответствие активов и обязательств. Определение стратегии распределения бонусов. Назначенный капитал. Встроенная стоимость. Брутто-резервы. Отложенные расходы по приобретению. Актуарный базис. Модели страхования для более чем одного застрахованного. Функции дожития для более чем одного застрахованного. Специальный аннуитет для двоих застрахованных. Единовременная выплата по достижению определенного срока. Выплаты по инвалидности. Освобождение от уплаты премии по инвалидности. Расчеты для пенсионных фондов. Базовые функции для выходящих на пенсию и для активных работников.

Курс читает  - н.с. к.ф.-м. н., Г.А. Белянкин, начальник Департамента актуарных и инвестиционных расчетов компании Ost-West Allianz

Дополнительные главы методов оптимизации
Современные методы условной оптимизации. Последовательное квадратичное программирование. Эквивалентные переформулировки системы Каруша-Куна-Таккера, элементы негладкого анализа, обобщенный метод Ньютона. Идентификация активных ограничений, оценки расстояния. Штрафы и модифицированные функции Лагранжа для задачи со смешанными ограничениями. 

Стратегии глобализации сходимости. Одномерный поиск. Методы доверительной области. Продолжение по параметру. Глобализация сходимости методов последовательного квадратичного программирования.

Методы негладкой выпуклой оптимизации. Элементы субдифференциального исчисления. Двойственная релаксация. Субградиентные методы. Кусочно-линейная аппроксимация. Многошаговые методы с квадратичными подзадачами.

  Специальные задачи оптимизации. Методы решения задач квадратичного программирования. Методы внутренней точки для задач линейного программирования.

Курс читает  профессор, д.ф.-м.н.. Измаилов А.Ф.

Эконометрический анализ временных рядов
Математические методы в экономике II
Опционы и производственные ценные бумаги
Экспертные системы 
и др.

2, 3 и 4-ый семестры.
Трудоемкость курса   - 2 академических часа в неделю, лекции.
Форма контроля         - экзамен.