Автоволновые процессы

Программа
АВТОВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ (АВП)
(9 семестр, 36 часов)

1. Определение автоволнового процесса (АВП). Под автоволновым принято понимать самоподдерживающийся в активной нелинейной среде волновой процесс (включая стационарные пространственные структуры), сохраняющий свои характеристки постоянными за счет распределенного в среде источника энергии. Эти характеристики - период, длина волны или импульса, скорость распространения, амплитуда и форма в установившемся режиме зависят лишь от локальных свойств среды и в определенных пределах не зависят от краевых и начальных условий. При этом в пространстве предполагается связь посредством процессов переноса диффузионного типа. АВП являются распространяющиеся фронты горения, фронты переброса фазы, разнообразные распределенные химические реакции (например, образование спиральных волн в плоских химических реакторах), большое число процессов в живых организмах (распространение нервных импульсов и механохимические процессы подвижности живых клеток). Страты в газовом разряде и образование структур в расплавах под действием лазера также являются АВП. Автоволны являются одним из важнейщих факторов самоорганизации в термодинамически открытых неравновесных системах (в биосфере, космосе, в экологических сообществах, в оптически активных средах, в любом живом организме).
2. Математическая модель автоволновой системы. Многокомпонентная система уравнений нелинейной диффузии взаимодействующих между собой переменных Xi, зависящих как от времени, так и от пространственных координат, представляет собой базовую модель АВП. Физический смысл переменных Xi в физике, химии и биологии. Диффузионная матрица, описывающая процессы переноса. Коэффициенты диффузии и взаимной диффузии. Типы краевых условий. Случай нелокальных взаимодействий. Нелинейность коэффициентов диффузии. Переход к точечным моделям в случае полного перемешивания среды.
3. Классификация АВП. Бегущий фронт (БФ), бегущий импульс (БИ), ревербератор, синхронные в пространстве автоколебания и стоячие волны, диссипативные структуры (ДС) - стационарные пространственные распределения переменных , локальные источники автоволн - ведущие центры (ВЦ) и метастабильные ДС. Примеры различных типов АВП и методы их наблюдения в средах различной природы.
4. Исследование устойчивости однородных решений. Получение стационарных однородных в пространстве решений базовой модели. Линеаризация модели. Вывод дисперсионного или характеристического уравнения, связывающего волновые числа и комплексные частоты отдельных малых гармонических возмущений. Общий анализ решения дисперсионного уравнения. Основные типы неустойчивостей в системах первого, второго и третьего порядков. Примеры: брюсселятор, распределенное уравнение Ван-дер-Поля. Роль краевых условий в отборе физически реализуемых возмущений.
5. Автомодельные решения для АВП. Метод введения автомодельной переменной на примере задачи о нелинейном активном кабеле. Уравнения нервной проводимости. Ионные токи через мембрану нервного волокна. Уравнения Ходжкина-Хаксли для аксона кальмара. Автомодельные решения для упрощенной системы нервной проводимости Фитц-Хью-Нагумо.
6. Бегущие фронты (БФ). Задача Фишера-Колмогорова-Петровского-Пискунова для распространения гена. Стационарные БФ и процессы установления. Пульсации скорости фронта. Проблема устойчивости формы фронта.
7. Бегущие импульсы (БИ). Стационарный БИ и его отличие от солитона. Формирование БИ. Метод рассмотрения БИ по Кернеру и Осипову. Аксиоматическая модель возбудимой среды. Порог возбуждения, рефрактерное время.
8. Автономные источники волн. Неустойчивые источники типа "эхо". Стабильные ведущие центры. Модель "орегонатор" для автоколебательной окислительно-восстановительной реакции Белоусова-Жаботинского. Ревербераторы, или спиральные волны в двумерных химических реакторах и возбудимой системе сердца. Модели патологии сердечной деятельности. Ядро ревербератора и зависимость скорости от кривизны фронта.
9. Синхронизация автоколебаний в пространстве как фактор самоорганизации. Фазировка автоколебаний в однородных системах. Пример распределенной системы Ван-дер-Поля. Синхронизация в неоднородных системах. Полоса синхронизации и распределения фаз в случае эквидистантных расстроек. Сложные квазистохастические режимы, возникающие при нарушении синхронизации. Синхронные сети атогенераторов в современной радиоэлектронике. Вычислительные проблемы при представлении автоволновой системы в виде дискретной модели с конечным числом степеней свободы.
10. Диссипативные структуры. Условия существования стационарных неоднородных решений. Ветвления решений и квазигармонические распределения. Контрастные и распределенные ДС. Методы расчета ДС по Кернеру и Осипову. Метастабильные ДС в однокомпонентных системах с нелинейными источниками и нелинейными коэффициентами диффузии. Режимы с обострением по Курдюмову - Самарскому. ДС в теории биологического морфогенеза. Модели Гирера и Майнхарта и модель распределенного генетического триггера Чернавского.
11. Шумы и АВП. Источники шумов в активных кинетических системах. Основные стохастические задачи. Среднее время существования простейшей экологической системы Вольтерра. Естественные шумы и пространственная самоорганизация. Уравнения "мастер-экуэйшн" для модели "брюсселятор". Мультипликативные шумы или флюктуации параметров. Пример уравнения Ландау - Гинзбурга.
12. Автоволновые механизмы подвижности живых клеток. Различные типы подвижности. Амебоидная подвижность. Актомиозиновые взаимодействия. Устройство саркомера - элемента мышечного волокна. Модель автоволновых течений в многоядерной амебе - плазмодии миксомицета. Фонтанирующие потоки в амебоидных клетках и механизмы миграции. Автоволны в кровеносных сосудах и кишечнике.
13. Автоволновые явления в оптически-активных средах. Лазер как самоорганизующаяся система. Пространственные эффекты в бистабильных оптических системах. Генерация структур в оптических системах с двумерной обратной связью. Понятие о биокомпьютерах и клеточных автоматах.
1. Сводка достаточных условий существования различных типов АВП.
& Литература
1. Васильев В.А., Романовский Ю.М., Яхно В.Г. Автоволновые процессы. М.: Наука, 1987.
2. Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С. Математическая биофизика. М.: Наука, 1984.
3. Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С. Математическоемоделирование в биофизике. М.: Наука, 1975.
4. Кернер Б.С., Осипов В.В. Автосолитоны. М.: Наука, 1991.
5. Новые физические принципы оптической обработки информации /Под. ред. Ахманова С.А. и Воронцова М.А.- М.: Наука, 1990.
6. Самарский А.А., Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Михайлов А.П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. -М.: Наука, 1987.
7. Рубин А.Б. Биофизика. -М.: Высшая школа, 1987, том I и II.
8. Романовский Ю.М. Математические модели внутриклеточной подвижности. Математическое моделирование, 1992.
9. Ахромеева Т.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Самарский А.А. Нестационарные структуры и диффузионный хаос. -М.: Наука, 1992.
10. Полак Л.С., Михайлов А.С. Самоорганизация в неравновесных физико-химических системах. -М.: Наука, 1983.
11. Лоскутов А.Ю., Михайлов А.С. Введение в синергетику.-М.: Наука, 1990.
12. Автоволновые процессы в системах с диффузией.- Под ред. Греховой М.Т.- Горький: ИПФ АН СССР, 1981.
13. Коллективная динамика возбуждения и структурообразования в биологических тканях. - Под ред. Яхно В.Г.- Горький: ИПФ АН СССР, 1987.
14. Белинцев Б.Н. Физические основы биологического формообразования. -М.: Наука, 1991.
15. Марри Д.Ж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях.-М.: Мир, 1982.
16. Скотт А. Волны в активных средах в приложении к электронике. - М.: Мир, 1979.
17. Эбелинг В. Образование структур при необратимых процессах. - М.: Мир, 1979.
18. Иваницкий Г.Р., Кринский В.И., Сельков Е.Е. Математическая биофизика клетки. - М.: Наука, 1978.
19. Романовский Ю.М., Теплов В.А. Физические основы клеточного движения. Механизмы самоорганизации амебоидной подвижности.- УФН,т.165,1995, вып.5, с.553-577.

Программу составил
профессор Ю.М. Романовский