|
Программа курса
Краткая программа курса "Выпуклый анализ"
313 группа ф-та ВМК, весна 2007 г.
Лектор -- проф. А.В. Дмитрук
- Выпуклые множества и выпуклые конусы. Элементарные
свойства.
- Топологические свойства выпуклых множеств.
- Теоремы об отделимости двух выпуклых множеств.
- Геометрические свойства выпуклых множеств (крайние и выступающие точки, рецессивные
направления).
- Двойственнные выпуклые множества: поляра и сопряженный
конус.
- Теорема Дубовицкого--Милютина о непересечении выпуклых
конусов.
- Конечнопорожденные и конечногранные конусы. Лемма
Фаркаша.
- Выпуклые и сублинейные функции. Надграфик и неравенство Йенсена. Опорная функция
и функция Минковского.
- Критерии выпуклости дифференцируемых функций.
- Непрерывность и липшицевость выпуклых функций.
- Полунепрерывные функции. Замыкание выпуклой функции. Аффинные миноранты
выпуклой функции.
- Субдифференциал выпуклых и сублинейных функций. Субдифференциал суммы и максимума
функций.
- Производная выпуклой функции по направлению и ее
представление через опорные.
- Двойственнные выпуклые функции: преобразование
Лежандра--Юнга--Фенхеля.
- Задача о минимуме выпуклой функции на выпуклом множестве. Необходимое и
достаточное условие минимума. Теорема Куна--Таккера.
- Теорема о минимаксе.
Рекомендуемая литература - основная:
- Р.Рокафеллар. Выпуклый анализ. М., Мир, 1973.
- Ф.П.Васильев. Численные методы решения экстремальных
задач. М., Наука, 1988 (глава 4).
- С.А.Ашманов, А.В.Тимохов. Теория оптимизации в задачах и
упражнениях. М., Наука, 1991 (глава 3).
- Е.В.Шикин. Линейные пространства и отображения. М.,
МГУ, 1987 (глава 7 и Добавление).
- Е.Г.Белоусов. Введение в выпуклый анализ и целочисленное программирование.
М., МГУ, 1984 (главы I, II).
- В.Г.Болтянский. Оптимальное управление дискретными
системами. М., Наука, 1973 (глава III).
Рекомендуемая литература - дополнительная:
- А.Д.Иоффе, В.М.Тихомиров. Теория экстремальных задач.
М., Наука, 1974.
- В.М.Алексеев, В.М.Тихомиров, С.В.Фомин. Оптимальное
управление. М., Наука, 1979.
- И.В.Гирсанов. Лекции по математической теории
экстремальных задач. МГУ, 1970.
- Б.Н.Пшеничный. Выпуклый анализ и экстремальные задачи.
М., Наука, 1980.
- Б.Н.Пшеничный. Необходимые условия экстремума. М.,
Наука, 1982.
- В.И.Благодатских. Введение в оптимизацию. М., Высшая
школа, 2001.
- Б.Т.Поляк. Введение в оптимизацию. М, Наука, 1983.
- Х.Никайдо. Выпуклые структуры и математическая
экономика. М., Мир, 1972.
- Е.В.Шикин. Выпуклые множества: топологическая структура и дифференциальные свойства.
М., МГУ, 1984.
- Г.Г.Магарил-Ильяев, В.М.Тихомиров. Выпуклый анализ и
его приложения. М., УРСС, 2000.
- Е.С. Половинкин, А.В. Балашов. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа.
М., Физматлит, 2004.
|
|