Программа курса

Курс: Выпуклый анализ.
Лектор А.В. Дмитрук

( 313 группа ф-та ВМК, весна 2001 г.)

Программа курса:

1. Выпуклое множество. Элементарные свойства (пересечение, сумма, образ и прообраз, проекция). Выпуклый конус. Выпуклая оболочка. Теорема Каратеодори. Выпуклая оболочка компакта.
2. Внутренность и замыкание выпуклого множества. Размерность выпуклого множества. Непустота относительной внутренности выпуклого множества.
3. Теоремы об отделимости (точки от выпуклого множества, двух выпуклых множеств, компакта от выпуклого множества).
4. Существование опорного функционала в граничной точке выпуклого множества. Крайние точки выпуклого множества. Теорема Минковского о представлении выпуклого компакта в виде выпуклой оболочки множества своих крайних точек.
5. Поляра множества. Элементарные свойства. Ограниченность множества и принадлеж-ность нуля внутренности его поляры. Поляра образа множества при линейном отображении. Теорема о второй поляре.
6. Сопряженный конус. Элементарные свойства. Теорема о втором сопряженном. Сопряженный к сумме конусов.
7. Теорема Дубовицкого--Милютина о непересечении выпуклых конусов. Сопряженный конус к пересечению конусов.
8. Замкнутость конечнопорожденного конуса. Лемма Фаркаша (сопряженный к конечногранному конусу).
9. Выпуклые функции. Определение с помощью надграфика и с помощью неравенства Йенсена. Сумма, позитивная комбинация и максимум выпуклых функций. Опорная функция, функция Минковского и их выпуклость.
10. Критерий выпуклости гладких функций в терминах функции Вейерштрасса. Выпуклость дифференцируемых и дважды дифференцируемых функций.
11. Непрерывность собственной выпуклой функции, ограниченной сверху в окрестности точки. Ее непрерывность на внутренности своего dom' а.
12. Липшицевость собственной выпуклой функции на любом компакте, содержащемся во внутренности ее dom' а. Константа Липшица. Лемма об окрестности компакта, лежащего в открытом множестве.
13. Полунепрерывность функции снизу, ее эквивалентность замкнутости надграфика и замкнутости множеств подуровней. Замкнутые выпуклые функции. Замкнутость верхней грани собственных замкнутых выпуклых функций.
14. Теорема Минковского о представлении собственной замкнутой выпуклой функции в виде верхней грани аффинных минорант. Аффинные функции, опорные к выпуклой.
15. Субдифференциал выпуклой функции в точке. Теорема Моро--Рокафеллара о субдиффе-ренциале суммы выпуклых функций. Субдифференциал индикаторной функции. Непустота и компактность субдифференциала выпуклой функции в любой внутренней точке ее dom' а.
16. Касательный конус и конус внешних нормалей к выпуклому множеству в данной точке. Теорема о конусе внешних нормалей к множеству подуровня выпуклой функции.
17. Сублинейные функции и опорные к ним линейные. Субдифференциал сублинейной функции. Представление сублинейной функции в виде верхней грани своих опорных. Теорема Дубовицкого--Милютина о субдифференциале максимума сублинейных функций.
18. Производная выпуклой функции по направлению. Однородность, выпуклость и непрерывная зависимость производной от направления. Совпадение субдифференциала выпуклой функции в точке и субдифференциала ее производной по направлениям. Представление производной по направлениям через максимум по опорным в данной точке.
19. Производная по направлению от максимума конечного числа выпуклых функций. Теорема Дубовицкого--Милютина о субдифференциале максимума выпуклых функций в точке.
20. Семейство выпуклых функций, зависящих от параметра. Максимум по этому семейству и формула для его производной по направлению. Теорема о субдифференциале максимума (об "очистке").
21. Преобразование Лежандра--Юнга--Фенхеля. Сопряженная функция. Неравенство Юнга. Классическое преобразование Лежандра. Сопряженные к сублинейной и к индикаторной функции.
22. Вторая сопряженная функция. Теорема Фенхеля--Моро. Взаимная однозначность операции сопряжения на множестве собственных замкнутых выпуклых функций.
23. Задача о минимуме выпуклой функции на выпуклом множестве. Глобальность локального минимума. Необходимое и достаточное условие минимума. Задача о минимуме выпуклой функции при выпуклых ограничениях. Теорема Куна--Таккера.
24. Седловые точки функции двух аргументов и перестановка операций inf и sup. Выпукло-вогнутые функции на произведении компактов. Теорема о минимаксе. Хаусдорфово расстояние между двумя выпуклыми компактами.

Рекомендуемая литература:

1. Р.Рокафеллар. Выпуклый анализ. М., Мир, 1973.
2. А.Д.Иоффе, В.М.Тихомиров. Теория экстремальных задач. М., Наука, 1974.
3. В.М.Алексеев, В.М.Тихомиров, С.В.Фомин. Оптимальное управление. М., Наука, 1979.
4. Э.М.Галеев, В.М.Тихомиров. Краткий курс теории экстремальных задач. МГУ, 1989.
5. И.В.Гирсанов. Лекции по математической теории экстремальных задач. МГУ, 1970.
6. Б.Н.Пшеничный. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М., Наука, 1980.
7. Б.Н.Пшеничный. Необходимые условия экстремума. М., Наука, 1982.
8. Ф.П.Васильев. Численные методы решения экстремальных задач. М., Наука, 1988 (глава 4).
9. С.А.Ашманов, А.В.Тимохов. Теория оптимизации в задачах и упражнениях. М., Наука, 1991 (глава 3).
10. В.И.Благодатских. Теория дифференциальных включений. Часть I. МГУ, 1979.
11. Е.В.Шикин. Линейные пространства и отображения. М., МГУ, 1987 (глава 7 и Добавление).
12. Е.В.Шикин. Выпуклые множества: топологическая структура и дифференциальные свойства. М., МГУ, 1984.
13. Е.Г.Белоусов. Введение в выпуклый анализ и целочисленное программирование. М., МГУ, 1984 (гл. I, II).
14. Б.Т.Поляк. Введение в оптимизацию. М, Наука, 1983.
15. Х.Никайдо. Выпуклые структуры и математическая экономика. М., Мир, 1972.