Программа курса

Программа курса
"Условия высших порядков в задачах на экстремум"
осенний семестр 2006 года, лектор: д.ф.-м.н А.В. Дмитрук

Часть I. Элементы общей теории экстремальных задач и конечномерная задача на экстремум

1. Общая задача на экстремум с ограничениями в банаховом пространстве. Локальный минимум. Предположения о гладкости.
2. Регулярность ограничений равенства: условие Люстерника. Теорема Люстерника об оценке расстояния до множества нулей оператора. Следствие: теорема Люстерника о касательном подпространстве.
3. Условия первого порядка для локального минимума в общей задаче. Правило множителей Лагранжа. Функция Лагранжа. Активные индексы и условия дополняющей нежесткости. Принцип Лагранжа снятия ограничений.
4. Конус критических вариаций. Мягкие и жесткие индексы в его записи. Случай, когда конус превращается в подпространство.
5. Случай K = {0} - достаточное условие первого порядка для локального минимума.
6. Лемма Хоффмана об оценке расстояния до множества решения системы линейных равенств и неравенств. Следствие: оценка расстояния от точки до многогранного конуса.
7. Конечномерная задача на экстремум с ограничениями равенства и неравенства. Условия второго порядка для локального минимума. Вторая вариация функции Лагранжа. Функционал типа максимума семейства квадратичных форм.
8. Доказательство необходимого условия второго порядка.
9. Доказательство достаточного условия второго порядка.
10. Симметрия между минимизируемым функционалом и ограничениями неравенства. Получение условий второго порядка в задаче на минимакс путем сведения ее к гладкой задаче с ограничениями неравенства.

Часть II. Задача оптимального управления без поточечных ограничений

11. Каноническая задача оптимального управления без поточечных ограничений (задача Лагранжа вариационного исчисления). Сведение задачи с интегральным функционалом к канонической. Сведение задачи на нефиксированном отрезке времени (в т.ч. задачи быстродействия) к канонической.
12. Пространства фазовых и управляющих функций в канонической задаче. Основные типы минимума: слабый, сильный, и минимум относительно нормы пространства W.
13. Оператор Немыцкого (подстановка в функцию) и его дифференцируемость в пространствах ограниченных функций.
14. Оператор, задающий ограничения равенства. Замкнутость образа его производной. Лемма о замкнутости образа составного оператора.
15. Слабый минимум в канонической задаче оптимального управления; его эквивалентность локальному минимуму в норме пространства W.
16. Уравнение Эйлера-Лагранжа - необходимое условие первого порядка для слабого минимума. Сопряженное уравнение, условия трансверсальности, условие стационарности по управлению.
17. Квадратичные условия (условия "второго порядка") для слабого минимума в канонической задаче оптимального управления. Грубость оценки второй вариации с помощью квадрата исходной нормы пространства W.

Часть III. Случай единственности множителей Лагранжа: исследование квадратичной формы

18. Общий вид квадратичной формы - второй вариации функции Лагранжа, возникающей в канонической задача оптимального управления без поточечных ограничений. Общий вид конуса критических вариаций.
19. Необходимое условие Лежандра. Усиленное условие Лежандра и его недостаточность для положительной определенности квадратичной формы.
20. Достаточность усиленного условия Лежандра для положительной определенности квадратичной формы на малых отрезках времени.
21. Расширение пространства вариаций управления до L_2 [0,T]. Лемма о плотности всюду плотного многообразия в подпространстве конечной коразмерности.
22. Слабая полунепрерывность снизу и лежандровость квадратичной формы в гильбертовом пространстве. Связь этих понятий с условием Лежандра для интегральной квадратичной формы. Лемма о положительной определенности положительной лежандровой квадратичной формы.
23. Теория Якоби для интегральной квадратичной формы при линейных ограничениях равенства на левом конце и нулевом правом конце). Расширяющееся семейство гильбертовых пространств L_2 [0,T], T > 0 . Непрерывность этого семейства. Прохождение лежандровой квадратичной формы через ноль.
24. Понятие управляемой и вполне управляемой системы на данном отрезке. Критерий управляемости в терминах сопряженной переменной. Полная управляемость в задачах классического вариационного исчисления (простейшей и со старшими производными).
25. Уравнение Эйлера-Якоби для интегральной квадратичной формы в случае вполне управляемой системы и нулевого правого конца. Положительность коэффициента при функционале при линейной независимости векторов, задающих ограничения на левом конце. Условие трансверсальности.
26. Итоговая процедура исследования квадратичной формы с помощью уравнения Эйлера-Якоби. Сопряженная точка и уравнение для ее нахождения. Условия Якоби для знакоопределенности квадратичной формы.

Рекомендуемая литература

1. Конспект лекций.
2. И.М. Гельфанд, С.В. Фомин. Вариационное исчисление. М., Физматгиз, 1961.
3. В.М. Алексеев, В.М. Тихомиров, С.В. Фомин. Оптимальное управление. М., Наука, 1979.
4. А.Д. Иоффе, В.М. Тихомиров. Теория экстремальных задач. М., Наука, 1974.
5. В.М. Алексеев, Э.М. Галеев, В.М. Тихомиров. Сборник задач по оптимизации. М., Наука, 1984.
6. И.Л. Калихман. Сборник задач по математическому программированию. М., 1975.