13.10.2013

Заседание ММО

15 октября 2013 г.
Заседание Московского математического общества
(18:30, ауд. 16-10 ГЗ МГУ)

М.Б.Скопенков

Дискретный комплексный анализ: результаты о сходимости

Под дискретизацией комплексного анализа понимается построение теории функций на решетке или ином дискретном множестве, котораяв каком-либо смысле имитирует теорию комплексно-аналитических функций. Одним из важнейших аспектов дискретизации всегда является вопрос о сходимости к соответствующей непрерывной теории, таккак он определяет возможность использования данной дискретизациив численных методах. 

Дискретизации для гармонических функций (которые, как известно,тесно связаны с комплексно-аналитическими) рассматривались еще в 1920-х годах в связи с численным решением уравнений математической физики. Различные дикретизации комплексного анализа строились Р.Исааксом-Ж.Ферранд-Р.-Даффином-Х.Мерка (на четырехугольных решетках), И.А.Дынниковым-С.П.Новиковым (на правильной треугольной решетке), У.Терстоном (на узорах из окружностей). Они находят многочисленные приложения в комбинаторике, теории вероятностей и статистической физике.

Для дискретизации на квадратной решетке сходимость дискретных гармонических функций к решениям задачи Дирихле для уравнения Лапласа была установлена Р.Курантом, К.Фридрихсом, Х.Левии Л.Люстерником, а на ромбической - С.Смирновым и Д.Челкаком.

Недавно докладчиком такая сходимость была доказана для дискретизациина четырехугольных решетках более общего вида (что решило задачу, поставленную С.Смирновым). Совместно с А.Бобенко была построена дискретизация абелевых интегралов и доказана сходимость дискретных матриц периодов к их непрерывным аналогам. Об этих результатах и пойдет речь в докладе.

Для понимания доклада специальных знаний не требуется.