Арифметические прогрессии

    Первая важная формула - это формула общего (-го) члена прогрессии: . В частности, , и т.п.
    Число называется разностью арифметической прогрессии. Из приведенной формулы видно, что каждый следующий член арифметической прогрессии получается из предыдущего прибавлением некоторого фиксированного числа - той самой разности . (Именно это свойство кладется обычно в определение арифметической прогрессии).
    Вторая формула, которую нужно помнить наизусть - это формула суммы (первых) членов арифметической прогрессии:

(формула записана в трех разных видах; второй и третий получаются из первого при помощи формулы 1).
    Наконец, полезно помнить следующее свойство, в какой-то мере оправдывающее название "среднее арифметическое":
    Если , , - последовательные члены арифметической прогрессии, то .

    Пример 1. В концертном зале расположены 10 рядов. В каждом следующем ряду на 20 мест больше, чем в предыдущем. В последнем ряду 280 мест. Сколько всего мест в концертном зале?
    Решение. На самом деле, необходимо выяснить, что именно означабт числа, приведенные в задаче. 10 рядов - это то самое . 20 мест - это , разность прогрессии. Наконец, - это последний ее член. После того, как стал ясен смысл всех чисел, их можно подставить в готовую формулу:

    Задача решена.

    Иногда некоторые данные, необходимые для получения ответа, должны быть найдены из дополнительных условий. Подчас эти условия бывают весьма замысловаты. Разберем еще несколько задач, каждый раз усложняя пример.

    Пример 2. Третий член арифметической прогрессии равен 10, восьмой - 30. Сколько нужно взять членов прогрессии, чтобы в сумме получить 242?
    Решение. В этой задаче ни разность прогрессии, не ее первый член не заданы явно; их нужно найти, составив систему по данным задачи. Итак, используя формулу -го члена, имеем: , . Вычитая первое уравнение из второго, получим: , откуда . Тогда . Теперь можно составить уравнение, из которого мы найдем неизвестное нам :

откуда и .

    Пример 3. Найти сумму всех трехзначных чисел, которые при делении на 11 дают в остатке 5.
    Решение. Все такие числа имеют следующий вид . Первое трехзначное число такого вида, очевидно, 104. При этом . Последнее трехзначное число с требуемыми свойствами - это 995, при . Всего таких чисел 82. Тогда получится следующий результат:

    Пример 4. Задача и т.н. "Папируса Ринда" - один из древнейших математических текстов.
    "Сто мер хлеба разделить между пятью людьми так, чтобы второй получил на столько же больше первого, на сколько третий получил больше второго, четвертый больше третьего и пятый больше четвертого. Кроме того, двое первых должны получить в 7 раз меньше трех остальных. Сколько нужно дать каждому?"
    (Возраст этой задачи значительно превышает 4 тысячи лет и уже хотя бы поэтому она заслуживает упоминания здесь.)
    Решение. Обозначим через - количество хлеба, полученное первым; - разность этой прогрессии. Тогда получим систему из двух уравнений: (из второго условия задачи); - это условие на сумму, которая равна 100 мерам хлеба. Эту систему легко решить, что оставляется в качестве домашнего задания.
    Ответ: , .