Доказать, что если три окружности радиуса проходят через одну точку, то три другие точки попарного пересечения этих окружностей лежат на окружности радиуса .

Решение:
    Пусть все три окружности радиуса с центрами , и пересекаются в точке и попарно пересекаются в точках , , . Очевидно, что середины , и отрезков , и являются в то же время серединами отрезков , и (общая хорда пересекается с отрезком, соединяющим центры окружностей). Поэтому у каждого из треугольников и стороны соответственно вдвое больше сторон треугольника и параллельны им. Следовательно, . Но радиус описанной около окружности равен, очевидно, (). Следовательно, радиус описанной около окружности равен .