Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://new.math.msu.su/diffur/ZADACH.PDF Дата изменения: Wed Feb 20 20:52:34 2013 Дата индексирования: Sat Apr 9 22:06:53 2016 Кодировка:

pREDISLOWIE wWEDENIE 1 wSPOMOGATELXNYE SWEDENIQ IZ FUNKCIONALXNOGO ANALIZA
2

sODERVANIE

2 5 10

3

zADA^A kO I DLQ WOLNOWOGO URAWNENIQ . . . . . . . . . 25 sME ANNAQZADA^A DLQ POLUOGRANI^ENNOJ STRUNY . . . 30 oGRANI^ENNAQ STRUNA. mETOD fURXE . . . . . . . . . . . 34 kRAEWAQZADA^A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 zADA^A kO I DLQ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI . . . . . 45
50

uRAWNENIQ GIPERBOLI^ESKOGOTIPA uRAWNENIQ PARABOLI^ESKOGO TIPA

kLASSIFIKACIQ URAWNENIJ. hARAKTERISTIKI . . . . . . 16 kORREKTNOSTX POSTANOWKI ZADA^ . . . . . . . . . . . . . . 21
25

oB]IE PONQTIQ TEORII URAWNENIJ S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI

oBOB]ENNYE FUNKCII I FUNDAMENTALXNYE RE ENIQ . . 10 pROSTRANSTWA sOBOLEWA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
16

4

39

5

rE ENIQ OTDELXNYH ZADA^ oTWETY |KZAMENACIONNYE WARIANTY
6

gARMONI^ESKIE FUNKCII . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 kLASSI^ESKAQPOSTANOWKA OSNOWNYH KRAEWYH ZADA^ . . . 56 oBOB]ENNYE RE ENIQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
71 109 113

uRAWNENIQ \LLIPTI^ESKOGO TIPA

1


pREDISLOWIE nIVE PRIWODQTSQ NEKOTORYE ZADA^I, PREDLAGAW IESQ STUDENTAM MEHANIKO{MATEMATI^ESKOGO FAKULXTETA mgu NA PISXMENNYH \KZAMENAH PO URAWNENIQM S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI I URAWNENIQM MATEMATI^ESKOJFIZIKI W 1994{2003 GODAH. pRI PODGOTOWKE DANNOGO SPISKA BYLOUMENX ENOKOLI^ESTWO STANDARTNYH ZADA^, KOTORYE MOVNO NAJTI W SU]ESTWU@]IH U^E BNIKAH I U^E BNYH POSOBIQH. kROMETOGO, PRI NALI^II NESKOLXKIH BLIZKIH PO FORMULIROWKAM ZADA^ W SPISOK, KAK PRAWILO, WKL@^ALASX LI X ODNA IZ NIH. w ZADA^NIK TAKVE NE WKL@^ALISX TEORETI^ESKIE WOPROSY IZ PROGRAMMY KURSA (OPREDELENIQ, POSTANOWKI ZADA^, FORMULIROWKI I DOKAZATELXSTWA TEOREM), KOTORYE OBQZATELXNO PRISUTSTWOWALI W L@BOM \KZAMENACIONNOM WARIANTE. dLQ TOGO, ^TOBY U ^ITATELQ WOZNIKLO PREDSTAWLENIE OB \TIH \KZAMENAH, WKONCEZADA^NIKA PRIWEDENY NEKOTORYE WARIANTY S UKAZANIEM USLOWIJ PROWEDENIQ \KZAMENA I KRITERIEW OCENOK. w SOSTAWLENII WARIANTOW \KZAMENACIONNYH ZADANIJ U^ASTWOWALI PREPODAWATELI KAFEDRY DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ MEHANIKO{MATEMATI^ESKOGO FAKULXTETA mgu IM. m. w. lOMONOSOWA: t. d. wENTCELX, a. `. gORICKIJ, a. s. kALA NIKOW, w. a. kONDRATXEW, s. n. kRUVKOW, e. m. lANDIS, e. w. rADKEWI^, g. a. ~E^KIN, a. s. {AMAEW, t. a. {APO NIKOWA. oTBOR ZADA^ 1994{1998 GODOWI IH REDAKTIROWANIE WYPOLNENY a. s. kALA NIKOWYM. wOKON^ATELXNOM SOSTAWLENII SBORNIKA PRINIMALI U^ASTIE t. d. wENTCELX, a. `. gORICKIJ, t. o. kAPUSTINA, o. s. rOZANOWA, g. a. ~E^KIN. zADA^I RAZDELENY NA PQTX TEMATI^ESKIH RAZDELOW. w KAVDOM RAZDELE KRATKO PRIWEDENY OSNOWNYE FAKTY, OTNOSQ]IESQ K DANNOJTEME. ~ASTX ZADA^ SNABVENA PODROBNYMI RE ENIQMI, I WSE ZADA^I (KROMEZADA^NA DOKAZATELXSTWO)| OTWETAMI. kURS URAWNENIJ S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI, KAK POKAZYWAET PRAKTIKA, QWLQETSQ TRADICIONNOODNOJ IZ SAMYH TRUDNOWOSPRINIMAEMYH MATEMATI^ESKIH DISCIPLIN NA MEH-MATE. nADEEMSQ, ^TO\TOT SBORNIK POMOVET STUDENTAM LU^ E OSWOITX MATERIAL KURSA.
04.04.04. 2


nEKOTORYE ISPOLXZUEMYE OBOZNA^ENIQ | MNOVESTWO WSEH NATURALXNYH ^ISEL. | MNOVESTWO WSEHCELYH ^ISEL. f0g | MNOVESTWO WSEHNEOTRICATELXNYH CELYH ^ISEL. += | MNOVESTWO WSEHDEJSTWITELXNYH ^ISEL. + | MNOVESTWO WSEHPOLOVITELXNYH DEJSTWITELXNYH ^ISEL. ; | MNOVESTWO WSEH OTRICATELXNYH DEJSTWITELXNYH ^ISEL. n | n-MERNOE DEJSTWITELXNOE LINEJNOE PROSTRANSTWO. (x1 ::: xn)| DEKARTOWY KOORDINATY W n. ( )| POLQRNYE KOORDINATY W 2. | OBLASTX (T. E. SWQZNOE, OTKRYTOE MNOVESTWO) W n, OGRANI^ENNAQ, ESLI NEOGOWORENO PROTIWNOE. @ | GRANICA OBLASTI . | EDINI^NAQWNE NQQ NORMALX K @ . n (x0 )= fx 2 n j jx ; x0 j 0.

NZ ZN RR RR

R

RR R

R

R

R RR R RR

R

3


C l ( ) | MNOVESTWO FUNKCIJ, l RAZ NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMYH W OBLASTI . Cb ( ) = C ( ) \ L1 ( ) | MNOVESTWO OGRANI^ENNYH NEPRERYWNYH W OBLASTI FUNKCIJ. C 1 ( ) | MNOVESTWO BESKONE^NO DIFFERENCIRUEMYH W OBLASTI FUNKCIJ. 1 D( ) = C0 ( ) | MNOVESTWO BESKONE^NO DIFFERENCIRUEMYH W OBLASTI FUNKCIJ, RAWNYH NUL@ W OKRESTNOSTI @ . 1 D( n)= C0 ( n) | PROSTRANSTWO BESKONE^NO DIFFERENCIRUEMYH FINITNYH FUNKCIJ W n. H 1 ( ) | PROSTRANSTWO FUNKCIJ, PRINADLEVA]IH PROSTRANSTWU L2 ( ) WMESTESOSWOIMI OBOB]ENNYMI PROIZWODNYMI W SMYSLE sOBOLEWA PERWOGOPORQDKA. 1 H 1 ( ) | POPOLNENIE MNOVESTWA C0 ( ) PONORME H 1 ( ). D0 ( n)| PROSTRANSTWO LINEJNYH NEPRERYWNYH FUNKCIONALOW NA D( n). 2 D0 ( n) | \DELXTA-FUNKCIQ", T. E. FUNKCIONAL, OPREDELQEMYJ FORMULOJ

RR RR R R

R

h

'i = '(0) 8'

x0 2 D0

( n), GDE x

0 2 n,| \SDWINUTAQDELXTA h x0 'i = '(x0) 8' 2 D( n):

R

2D

( n):

(x)| -FUNKCIQ hEWISAJDA: (x)= 1 DLQ x > 0 0 DLQ x< 0: x+ = maxfx 0g x; =maxf;x 0g: n !n | PLO]ADX EDINI^NOJ SFERY S1 (0) W n. @u ::: @u . r | OPERATOR GRADIENTA W n, ru = @x @x

R

R R R
(
1

-FUNKCIQ":

n

4


wWEDENIE uKAVEM NEKOTORYE OPREDELENIQ I TEOREMY, KOTORYE NEOBHODIMO ZNATX, ^TOBY RE ATX ZADA^I NASTOQ]EGOSBORNIKA, ATAKVE U^E BNIKI, W KOTORYH MOVNO NAJTI \TI FAKTY. nOMERA ZADA^, PRIWODIMYE W POSLEDU@]IH PUNKTAH, PRIWEDENY DLQ PRIMERA IMOGUT NEOHWATYWATX WSEHZADA^ NA DANNU@ TEMU.
1. wSPOMOGATELXNYE SWEDENIQ IZ FUNKCIONALXNOGO ANALIZA
1.

oPREDELENIE OBOB]ENNYH FUNKCIJ, OSNOWNYH OPERACIJ NAD NIMI I FUNDAMENTALXNOGO RE ENIQ DIFFERENCIALXNOGOOPERATORA. 5, gL.II, xx 5{7] (ZADA^I 1.1{1.5, 2.17 B)) 2. oPREDELENIE PROSTRANSTW H 1 I H 1 . 20, gL. III, x 5] (ZADA^I 1.8{1.16, 1.19{1.21) 3. nERAWENSTWO fRIDRIHSA. 20], 22](ZADA^I 1.17{1.19)
2. oB]IE PONQTIQ TEORII URAWNENIJ S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI

kLASSIFIKACIQ LINEJNYH URAWNENIJ WTOROGOPORQDKA I PRIWEDENIE IH K KANONI^ESKOMU WIDU. 23, gL.I, x 6] (ZADA^I 2.1{2.4, 2.7{2.9, 2.14, 2.15, 2.17 A)) 2. oPREDELENIE HARAKTERISTIK. 23, gL.I, x 3] (ZADA^I 2.5{2.7,
1.

O SU]ESTWOWANII I EDINSTWENNOSTI ANALITI^ESKOGORE ENIQ ZADA^I kO I. 23, gL.I, xx 10, 11] (ZADA^I 2.16, 2.22 a)) 4. kORREKTNOSTX POSTANOWKI ZADA^ DLQ URAWNENIJ S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI. 23, gL.I, x 8] (ZADA^I 2.17{2.23)
3. uRAWNENIQ GIPERBOLI^ESKOGO TIPA
1.

2.11{2.13, 3.3, 3.4) 3. tEOREMA kO I{kOWALEWSKOJ

pOSTANOWKA ZADA^I kO I DLQ ODNOMERNOGO URAWNENIQ KOLEBANIJ. fORMULa dALAMBERA. oBLASTX ZAWISIMOSTI. 23, gL. II, xx 11{13] (ZADA^I 3.1{3.2, 3.5{3.12)
5


zADA^A kO I DLQ WOLNOWOGO URAWNENIQ W SLU^AE DWUH I TREH PROSTRANSTWENNYH IZMERENIJ. fORMULY pUASSONA I kIRHGOFA. iSPOLXZOWANIE SIMMETRII W NA^ALXNYH USLOWIQH. oBLASTX ZAWISIMOSTI. 23, gL.II, xx 12, 13] (ZADA^I 3.13{3.23) 3. kRAEWYE ZADA^I DLQ POLUOGRANI^ENNOJ STRUNY. uSLOWIQ SOGLASOWANIQ DLQ NA^ALXNYH I GRANI^NYH ZNA^ENIJ. mETOD PRODOLVENIQ NA^ALXNYH ZNA^ENIJ I SWEDENIE KRAEWOJZADA^IKZADA^E kO I. 29, gL.II, xx 2, 4] (ZADA^I 3.24{3.28, 3.31, 3.32) 4. pOSTANOWKA OSNOWNYH KRAEWYH ZADA^. |NERGETI^ESKOE TOVDESTWO DLQ RE ENIJ KRAEWYH ZADA^. 23, gL. II, x 18] (ZADA^I 3.33{3.36) 5. rE ENIE KRAEWYH ZADA^S POMO]X@ METODA fURXE. pERIODI^NOSTX RE ENIJ KRAEWYH ZADA^. 23, gL.III, x 20], 29, gL.II, x 3] (ZADA^I 3.37{3.40)
2.

4. uRAWNENIQ PARABOLI^ESKOGO TIPA.
1.

4.3, 4.6, 4.7, 4.20, 4.21) 3. rE ENIE KRAEWYH ZADA^ METODOM fURXE. (ZADA^I 4.8{4.19) 4. pRINCIP MAKSIMUMA W SLOE. 23, gL.IV, x DA^I 4.27, 4.31) 5. tEOREMY O STABILIZACII DLQ RE ENIQ ZA ^I 4.33{4.36)

pOSTANOWKA ZADA^I kO I I OSNOWNYH KRAEWYH ZADA^. 23, gL. IV, xx 38, 40], 21, x 4.3] 2. pRINCIP MAKSIMUMA W CILINDRE. eDINSTWENNOSTX RE ENIQ PERWOJ KRAEWOJZADA^I 23, gL.IV, x 38], 21, x 4.4] (ZADA^I 4.1,
23, gL. IV, x 39] 40], 21, x 4.4] (ZA-

DA^I kO I. (ZADA-

5. uRAWNENIQ \LLIPTI^ESKOGO TIPA.
1.

5.2, 5.3, 5.6, 5.7, 5.15, 5.42) 2. pRINCIP MAKSIMUMA. tEOREMA O NORMALXNOJPROIZWODNOJ. 23, gL.III, x 8], 21, x 3.5] (ZADA^I 5.9, 5.10, 5.11, 5.12, 5.13, 5.28, 5.33, 5.18)

oPREDELENIE GARMONI^ESKIH FUNKCIJ. tEOREMY O SREDNEM. tEOREMA lIUWILLQ. 23, gL.III, x 30], 21, xx 3.5, 3.9] (ZADA^I 5.1,

6


3.
xx x

4.

3.3, 3.5] (ZADA^I

fORMULA gRINA. tEOREMA O POTOKE. 23,
5.16, 5.17, 5.34, 5.35

oBOB]ENNYE PROIZWODNYE W SMYSLE OBOB]ENNYH FUNKCIJ I W SMYSLE sOBOLEWA. oBOB]ENNOE RE ENIE ZADA^I dIRIHLE. wARIACIONNYJ METOD RE ENIQ ZADA^I dIRIHLE. 21, x 1.3], 20, gL. IV, x 1] (ZADA^I 5.48, 5.49, 5.50, 5.52, 5.51)
6.

) 5. tEORIQ POTENCIALOW. 23, gL. III, x 34], 21, ^I 5.36, 5.37)

3.10] (ZADA^I

tEOREMA OB USTRANIMOJ OSOBENNOSTI. 23, gL III, x 30], 21,
x

5.29, 5.30, 5.31, 5.32, 5.43

)

xx

30, 33], 21,

3.12] (ZADA-

bIBLIOGRAFIQ 1. aRNOLXD w. i., lEKCII PO URAWNENIQM S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI | m.: iZD-WO mk nmu,1995. 2. bERS l., dVONf., {EHTER m. uRAWNENIQ S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI | m.: iZD-WO mIR, 1966. | 351 S. 3. bICADZE a.w., kALINI^ENKO d.f. sBORNIK ZADA^ PO URAWNENIQM MATEMATI^ESKOJ FIZIKE | m.: iZD-WO nAUKA, 1977. | 222 S. 4. bUDAK b.m., sAMARSKIJ a.a., tIHONOWa.n. sBORNIK ZADA^ PO MATEMATI^ESKOJ FIZIKE | m.: gOS. IZD-WO TEHNIKO{ TEORETI^ESKOJ LITERATURY, 1956. | 683 S. 5. wLADIMIROWw.s. uRAWNENIQ MATEMATI^ESKOJ FIZIKI. | 5-OE IZDANIE.| m.: nAUKA, 1988. | 512 c. 6. wLADIMIROWw.s. sBORNIK ZADA^ PO URAWNENIQM MATEMATI^ESKOJ FIZIKE | m.: iZD-WO nAUKA, 1982. | 256 S. 7. wLADIMIROW w.s. oBOB]ENNYE FUNKCII W MATEMATI^ESKOJ FIZIKE. |2-OE IZDANIE | m.: nAUKA, 1979. | 320 c. 8. gILBARG d., tRUDINGER n. |LLIPTI^ESKIE DIFFERENCIALXNYE URAWNENIQ S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI WTOROGO PORQDKA | m.: iZD-WO nAUKA, 1989. | 463 S. 9. gODUNOW s.k. uRAWNENIQ MATEMATI^ESKOJ FIZIKI. u^EBNOE POSOBIE DLQ STUDENTOW FIZIKO{MATEMATI^ESKIH SPECIALXNOSTEJ UNIWERSITETOW. |2-OE IZDANIE.| m.: nAUKA, 1979. | 392 c. 7


10. gODUNOW s.k., zOLOTAREWA e.w. sBORNIK ZADA^ PO URAWNENIQM MATEMATI^ESKOJ FIZIKI. u^EBNOE POSOBIE. | nOWOSIBIRSK: iZD-WO nOWOSIBIRSKOGO GOS. UN-TA, 1987. | 96 c. 11. gORICKIJ a.`., kRUVKOWs.n., ~E^KIN g.a. uRAWNENIQ S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI PERWOGO PORQDKA (u^EBNOE POSOBIE) | m.: iZDATELXSTWO cENTRA PRIKL. ISSLEDOWANIJ PRI MEH-MAT F-TA mOSK. GOS. UN-TA, 1999. | 96 S. 12. eGOROW `.w. lEKCII PO URAWNENIQM S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI. dOPOLNITELXNYE GLAWY. u^EBNOE POSOBIE DLQ STUDENTOW, OBU^A@]IHSQ PO SPECIALXNOSTI \MATEMATIKA". | m.: iZD-WO mOSK. GOS. UN-TA, 1985. | 164 c. 13. iLXIN a.m., kALA NIKOW a.s., oLEJNIK o.a. lINEJ14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 8

NYE URAWNENIQ WTOROGO PORQDKA PARABOLI^ESKOGO TIPA //umn.{ 1962.{ T.17, WYP. 3.{ S. 3{146 (SM. TAKVE tRUDY SEMINARA IM. i.g.pETROWSKOGO.{ 2001.{ T.21.{ S. 9{193.) kOME^ a. i., pRAKTI^ESKOE RE ENIE URAWNENIJ MATEMATI^ESKOJ FIZIKI (u^EBNO-METODI^ESKOE POSOBIE DLQ STUDENTOW UNIWERSITETOW) | m.: iZD-WO MEH-MAT F-TA mOSK. GOS. UN-TA, 1993. kURANT r. uRAWNENIQ S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI. | m.: mIR, 1964. lADYVENSKAQo.a. kRAEWYE ZADA^I MATEMATI^ESKOJ FIZIKI | m.: nAUKA, 1973. mASLENNIKOWA w.n. dIFFERENCIALXNYE URAWNENIQ S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI. u^EBNOE POSOBIE. | 2-E IZDANIE. | m.: iZD-WO rudn, 2000. | 229 c. mIZOHATA s., tEORIQ URAWNENIJ S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI | m.: iZD-WO mIR, 1977. | 504 S. mIHAJLOW w.p. lEKCII PO URAWNENIQM MATEMATI^ESKOJ FIZIKI: U^EBNOE POSOBIE DLQ STUDENTOW WUZOW. | m.: fIZMATLIT, 2001. |206 S. mIHAJLOW w.p. dIFFERENCIALXNYE URAWNENIQ W ^ASTNYH PROIZWODNYH. | m.: nAUKA, 1984. oLEJNIK o.a. lEKCII OB URAWNENIQH S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI. I ^ASTX. | m.: iZD-WO MEH-MAT F-TA mOSK. UN-TA,
1976.


22. oLEJNIK o.a. lEKCII OB URAWNENIQH S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI. | m.: iZD-WO mOSK. UN-TA, 2004. 23. pETROWSKIJ i.g. lEKCII OB URAWNENIQH S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI. |3-E IZDANIE | m.: fIZMATGIZ, 1961. | 400 S. 24. sMIRNOW w.i. kURS WYS EJ MATEMATIKI (DLQ MEHANIKOMATEMATI^ESKIH I FIZIKO{MATEMATI^ESKIH FAKULXTETOW UNIWERSITETOW. | m.: fIZMATGIZ, 1959. 25. sMIRNOW m.m. zADA^I PO URAWNENIQM MATEMATI^ESKOJ FIZIKI. u^EBNOE POSOBIE. | 6-OE IZDANIE. | m.: nAUKA, 1975. | 126 c. 26. sOBOLEW s.l. nEKOTORYE PRIMENENIQ FUNKCIONALXNOGO ANALIZA W MATEMATI^ESKOJ FIZIKE. |3-E IZDANIE.| m.: nAUKA, 1988. | 336 c. 27. sOBOLEW s.l. iZBRANNYE WOPROSY TEORII FUNKCIONALXNYH PROSTRANSTW I OBOB]ENNYH FUNKCIJ. | m.: nAUKA, 1989. | 254 c. 28. sOBOLEW s.l. uRAWNENIQ MATEMATI^ESKOJ FIZIKI. | 5-E IZDANIE.| m.: nAUKA,1992. |432 S. 29. tIHONOWa.n., sAMARSKIJ a.a. uRAWNENIQ MATEMATI^ESKOJ FIZIKI. | 6-E IZDANIE. | m.: iZD-WO mOSK. UN-TA, 1999. | 798 S. 30. {ILOW g.e. mATEMATI^ESKIJ ANALIZ. wTOROJ SPECIALXNYJ KURS. | 2-OE IZDANIE | m.: iZD-WO mOSK. UN-TA, 1984. | 208 S. 31. {UBIN m.a. lEKCII OB URAWNENIQH MATEMATI^ESKOJ FIZIKI | m.: iZD-WO mcnmo, 2001. | 302 S. 32. |WANS l.k. uRAWNENIQ S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI | nOWOSIBIRSK.: iZD-WO tAMARA rOVKOWSKAQ, 2003.

9


1 wSPOMOGATELXNYE SWEDENIQ IZ FUNKCIONALXNOGO ANALIZA
STWA D ( ) (ILI D ( )), T. E. PROSTRANSTWA LINEJNYH NEPRE1 RYWNYH FUNKCIONALOW NAD D( n) = C0 ( n) (SOOTWETSTWENNO, 1 ( )). dEJSTWIE FUNKCIONALA f 2 D0 NA ' 2 D NAD D( ) = C0 OBOZNA^AETSQ f (') ILI (f '). w PROSTRANSTWE OBOB]ENNYH FUNKCIJ WYDELQETSQ KLASS REGULQRNYH OBOB]ENNYH FUNKCIJ, TO ESTX OBY^NYH FUNKCIJ f (x) 2 L1 loc( n)(ILI f (x) 2 L1 loc( )), DEJSTWIE KOTORYH OPREDELQETSQ TAK: Z

oBOB]ENNYE FUNKCII I FUNDAMENTALXNYE RE ENIQ oBOB]0ENNYMI FUNKCIQMI NAZYWA@TSQ \LEMENTY PROSTRAN n 0

R

R

RR R

-

(f ')=

f (x)'(x)dx

8' 2 D

(INTEGRIROWANIE IDET PO PROSTRANSTWU n ILI PO OBLASTI SOOTWETSTWENNO). oBOB]ENNYE FUNKCII, NE QWLQ@]IESQ REGULQRNYMI, NAZYWA@TSQ SINGULQRNYMI. pRIMEROM SINGULQRNOJ OBOB]ENNOJ FUNKCII QWLQETSQ {FUNKCIQ. pROIZWODNOJ OBOB]ENNOJ FUNKCII f 2 D0 POPEREMENNOJ xi NAZYWAETSQ OBOB]ENNAQ FUNKCIQ, OPREDELQEMAQ RAWENSTWOM @f ' = ; f @' 8' 2 D: @xi @xi

pO INDUKCII OPREDELQ@TSQ PROIZWODNYE OBOB]ENNOJ FUNKCII PROIZWOLXNOGOPORQDKA. fUNDAMENTALXNYM RE ENIEM DIFFERENCIALXNOGO OPERATORA L NAZYWAETSQ (WOOB]E GOWORQ, OBOB]ENNAQ) FUNKCIQ E TAKAQ, ^TO L(E )= , TO ESTX (L(E ) ')= '(0) 8' 2 D.

10


pRIWEDEM PRIMERY FUNDAMENTALXNYH RE ENIJ NEKOTORYH DIFFERENCIALXNYH OPERATOROW. fUNDAMENTALXNOE RE ENIE OPERATORA lAPLASA L = WPROSTRANSTWE RAZMERNOSTI n IMEET WID
En E2

@ dLQ OPERATORA TEPLOPROWODNOSTI L = @t ; a TALXNYM RE ENIEM QWLQETSQ FUNKCIQ
E

(x)= ! (2 ; 1 )jxjn; n n 1 ln jxj (x)= 2

2

n>3 n =2:
2

FUNDAMEN-

; jxj ( (x t)= ; pt) n e 4a2t : 2a t
2

@ wOLNOWOJ OPERATOR L = @t2 ; a2 W ZAWISIMOSTI OT RAZMERNOSTI n, n = 1 2 3, PROSTRANSTWENNOJ PEREMENNOJ x IMEET SLEDU@]IE FUNDAMENTALXNYE RE ENIQ
E1 E2 E3

2

w OTLI^IE OT SLU^AEW ODNOJ ILI DWUH PROSTRANSTWENNYH PEREMENNYH, E3 QWLQETSQ SINGULQRNOJ OBOB]ENNOJ FUNKCIEJ, DEJSTWIE KOTOROJNA OSNOWNYE FUNKCII OPREDELENORAWENSTWOM Z1Z
(E3 ')=
3 dSx | \LEMENT PLO]ADI NA SFERE Sat (0).

(x t)= 21a (x t)= 2a (x t)= 4 1 a

(at ;jxj) ( pat2;jxj) 2 a t2 ;jxj 2 t (jxj; at)

n =1 n =2 n =3:

R

4 a2 t

jxj=at

'(x t) dSx dt

8

'(x t)

2D

( 4)

R

11


pUSTX u(x y) | HARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ KWADRATA @2u (;1 1) (;1 1). nAJTI @x @y W SMYSLE TEORII OBOB]ENNYH FUNKCIJ.
1.1. 1.2.

pRI KAKIH ZNA^ENIQH PARAMETRA a 2 1 FUNKCIQ ( u(x t)= 1 PRI t 6 ax (x t) 2 2 0 PRI t > ax

R

R

QWLQETSQ RE ENIEM URAWNENIQ ut = ux W SMYSLE TEORII OBOB]ENNYH FUNKCIJ? pUSTX FUNKCIQ y(x) 2 D0 ( ) I UDOWLETWORQET URAWNENI@ KAK OBOB]ENNAQ FUNKCIQ. dOKAVITE, ^TO y(x) ESTX REGULQRNAQ OBOB]ENNAQ FUNKCIQ Cex , C = const.
y0 = y
1.4. 1.3.

R

nAJTI WSE FUNDAMENTALXNYE RE ENIQ OPERATORA
L

2u u(x)= d dx(2x) + du(x) : dx

1.5.

nAJTI FUNDAMENTALXNOE RE ENIE OPERATORA
L

u(x y)= uxx (x y) ; uyy (x y)

OBRA]A@]EESQ W NULX PRI y< 0.
1.6.

dOKAVITE, ^TO FUNKCIQ
p ( E (x x0)= ; cos4 rcr)

r = jx ; x0

j

QWLQETSQ FUNDAMENTALXNYM RE ENIEM OPERATORA
+c 12

GDE c = const > 0 n =3:


pROSTRANSTWA sOBOLEWA oBOB]ENNOJPROIZWODNOJ W SMYSLE sOBOLEWA FUNKCII
v(x)'(x) dx = u(x) @x dx i
1 8' 2 C0

POPEREMENNOJ xi W OBLASTI NAZYWAETSQ FUNKCIQ v(x)(OBOZNA^ENIE: v(x) = @ u=@ xi ), UDOWLETWORQ@]AQ INTEGRALXNOMU TOVDESTWU Z Z @'(x)
;

u(x)

( ):

H 1( ) NAZYWAETSQ PROSTRANSTWO FUNKCIJ u(x), PRINADLEVA]IH PROSTRANSTWU L2 ( ) WMESTE SO SWOIMI OBOB]ENNYMI PROIZWODNYMI @u=@ xi , i = 1 ::: n, W SMYSLE sOBOLEWA PERWOGOPORQDKA. pROSTRANSTWO H 1( ) QWLQETSQ BANAHOWYM (T. E. POLNYM NORMIROWANNYM) PROSTRANSTWOM. nORMA W NEM OPREDELQETSQ SLEDU@]IM OBRAZOM:
kuk2 1 ( ) H

pROSTRANSTWOM sOBOLEWA

= kuk2 2 L

()

+

kruk2L2( ))n (

=

Z

juj2

+

n X @u i=1

@xi

2

dx:

pROSTRANSTWOM sOBOLEWA H 1( ) NAZYWAETSQ ZAMYKANIE 1 PODPROSTRANSTWA C0 ( ) W PROSTRANSTWE H 1( ). nERAWENSTWO fRIDRIHSA. dLQ L@BOJ OGRANI^ENNOJ OBLASTI SU]ESTWUET KONSTANTA C ( ), TAKAQ^TO Z Zn 2dx 6 C ( ) X @u 2 dx 8u 2 H 1 ( ): juj @x
i=1 i

H( )

1

w SILU NERAWENSTWA fRIDRIHSA SLEDU@]IJ FUNKCIONAL W
kuk2

H1( )

=

kruk2L2( ))n (

=

Z X @u 2 n @x dx
i=1 i

ZADAET NORMU, \KWIWALENTNU@ ISHODNOJ NORME PROSTRANSTWA
H 1 ( ). 13


pROSTRANSTWO H 1( ) QWLQETSQ GILXBERTOWYM OTNOSITELXNO SKALQRNOGOPROIZWEDENIQ Z X @u @v n
u v]= (ru rv)(L2
( ))n

=

i=1

@xi @xi dx:

pROSTRANSTWO H 1( ) TAKVE QWLQETSQ GILXBERTOWYM SO SKALQRNYM PROIZWEDENIEM Z (u v)H 1 ( ) =(u v)+ u v] GDE (u v)= u(x)v(x) dx
| STANDARTNOE SKALQRNOE PROIZWEDENIE W L2 ( ).

pUSTX f (x) 2 H 1( ), a(x) 2 C 1( ). dOKAZATX, ^TO FUNKCIQ f (x)a(x) QWLQETSQ DIFFERENCIRUEMOJ W SMYSLE sOBOLEWA, I DLQ NAHOVDENIQ EE PROIZWODNYH PERWOGO PORQDKA SPRAWEDLIWA OBY^NAQFORMULA lEJBNICA. wERNOLI, ^TO f (x)a(x) 2 H 1( )? n n 1.8. pUSTX f 2 H 1(B1 (0)). wOZMOVNOLI, ^TO f 2 L1 (B1 (0)) = A) PRI n =3 B) PRI n =2 W) PRI n =1? 3 1.9. pUSTX u(x) | OGRANI^ENNAQ W B1 (0) FUNKCIQ, GLADKAQW 3 (0) nf0g. mOVNO LI UTWERVDATX, ^TO u 2 H 1 (B 3 (0))? B1 1 ;(0 1) QWLQETSQ 1.10. A) dOKAVITE, ^TO WSQKAQ FUNKCIQ IZ H 1 NEPRERYWNOJ. B) wSQKAQ LI NEPRERYWNAQ FUNKCIQ u(x) NA OTREZKE 0 1], ; TAKAQ, ^TO u(0) = u(1) = 0, PRINADLEVIT H 1 (0 1) ? 1.11. pUSTX u 2 C ( ) \ H 1( ) I u(x)= 0 PRI x 2 @ . dOKAZATX, ^TO u 2 H 1( ). 1.12. pRI KAKIH FUNKCIQ u(x y)= ln(x2 + y2 ) PRINADLEVIT PROSTRANSTWU H 1( ), ESLI 2 A) = B1=2 (0) 2 2 B) = B2 (0)nB1=2(0)?
1.7.

14


1.13. pRI KAKIH FUNKCIQ u(x y)= ln(x2 + xy +2y2 ) PRINADLEVIT H 1( ), GDE =(;1=4 1=4) (;1=4 1=4) ? 1.14. A) pRI KAKIH I n FUNKCIQ f (x) = (ln jxj) =jxj2 PRINADn LEVIT PROSTRANSTWU H 1 (B1=2(0))? n B) tOT VEWOPROS DLQ PROSTRANSTWA H 1(B1 (0)). 1.15. pRI KAKIH FUNKCIQ f (x)= jxj cos x PRINADLEVIT 1;(;1 1) ? PROSTRANSTWU H 1.16. pRI KAKIH 2 FUNKCIQ f (x)= ln jxj cos( jxj), GDE n x =(x1 ::: xn), PRINADLEVIT PROSTRANSTWU H 1 (B1=2 (0))? 1.17. pUSTX

D = f(x1 ::: xn) 2 n j x2 + + x2 ;1 0 NAJDUTSQ TAKAQ OGRANI^ENNAQ OBLASTX D I TAKAQ FUNKCIQ f 2 H 1( ), ^TO

R

R

Z

f 2 (x) dx > C

Z

jr

f (x)j2dx:

1.18. 1.19.

sPRAWEDLIWO LI NERAWENSTWO fRIDRIHSA W POLOSE
= (x y) j 0 ;1


n pUSTX Q = B1 (0). sPRAWEDLIWO LI SLEDU@]EE UTWERVDENIE: SU]ESTWUET POSTOQNNAQ C> 0 TAKAQ, ^TO ju(0)j 6 C kukH 1(Q) 8u(x) 2 C 1(Q)? ; 1.20. rASSMOTRIM W PROSTRANSTWE H 1 (;1 1) MNOVESTWO A GLADKIH FINITNYH FUNKCIJ '(x), UDOWLETWORQ@]IH USLOWI@ '0 (0) + '(0) = 0, 2 . nAJDITEKORAZMERNOSTX ZAMYKANIQ A ; MNOVESTWA A W H 1 (;1 1) . 1.21. pOSTROJTE PRIMER OGRANI^ENNOJ OBLASTI NA PLOSKOSTI 2, TAKOJ^TO FUNKCII C 1( ) NE SOSTAWLQ@T WS@DU PLOTNOGO MNOVESTWA W PROSTRANSTWE H 1 ( ), T. E. C 1( ) 6= H 1( ):

R

2

?

R

R

15


2 oB]IE PONQTIQ TEORII URAWNENIJ S ^ASTNYMI PROIZWODNYMI

kLASSIFIKACIQ URAWNENIJ. hARAKTERISTIKI
lINEJNOE URAWNENIE WTOROGOPORQDKA IMEET WID n n X X n
ij =1

aij uxi xj +

i=1

ai uxi + au = g(x)
n

x

2

wEKTOR = ( 1 ::: PRAWLENIE, ESLI

) IMEET

HARAKTERISTI^ESKOE NA

R

aij = aji: (1) -

n X ij =1

aij i j =0:

pOWERHNOSTX (x)= 0 NAZYWAETSQ HARAKTERISTIKOJ URAWNENIQ (1), ESLI NORMALX K \TOJPOWERHNOSTI = r IMEET HARAKTERISTI^ESKOE NAPRAWLENIE W KAVDOJTO^KE, T.E. n X @@

; eSLI MATRICU aij PRIWESTI K DIAGONALXNOMU WIDU, TO W SOOTWETSTWII SO ZNAKAMI DIAGONALXNYH \LEMENTOW, URAWNENIQ PODRAZDELQ@TSQ NA \LLIPTI^ESKIE (KOGDA WSE \LEMENTY NENULEWYE I ODNOGO ZNAKA), GIPERBOLI^ESKIE (KOGDA WSE \LEMENTY NENULEWYE I ROWNO ODIN OTLI^AETSQ PO ZNAKU OT OSTALXNYH), PARABOLI^ESKIE (KOGDA SU]ESTWUET ROWNOODIN NULEWOJ, A OSTALXNYE \LEMENTY ODNOGO ZNAKA). oSTALXNYE TIPY MY NE NAZYWAEM. u URAWNENIQ WTOROGO PORQDKA S DWUMQ NEZAWISIMYMI PEREMENNYMI
a11uxx +2a12uxy + a22uyy + b1ux + b2 uy + cu = g(x y) HARAKTERISTIKAMI QWLQ@TSQ KRIWYE, KOTORYE NAHODQTSQ IZ

ij =1

aij @x @x =0: ij

URAWNENIQ
16

a11(dy)

2;

2a12dx dy + a22(dx)2 =0


NAZYWAEMOGO HARAKTERISTI^ESKIM. eSLI a11 6= 0, TO I]EM RE ENIE W WIDE y = y(x), GDE w ZAWISIMOSTI OT ZNAKA DISKRIMINANTA WOZNIKA@T TRI SLU^AQ.
dy = a12 D dx a11
p

D=a

2 ; a11a22 12

|

DISKRIMINANT

.

gIPERBOLI^ESKIJ SLU^AJ: D> 0, DWA SEMEJSTWA HARAKTERISTIK (x y)= C I (x y)= C . pRI ZAMENE
URAWNENIE PRIWODITSQ KO WTOROJ KANONI^ESKOJFORME u + MLAD IE ^LENY =0: w SLU^AE ZAMENY URAWNENIE PRIWODITSQ K PERWOJ KANONI^ESKOJFORME u ; u + MLAD IE ^LENY =0: pARABOLI^ESKIJ SLU^AJ: D =0, ODNO SEMEJSTWA HARAKTERISTIK (x y)= C . l@BOJNEWYROVDENNOJ ZAMENOJWIDA GDE (x y)| NEKOTORAQ FUNKCIQ OT DWUH PEREMENNYH, URAWNENIE PRIWODITSQ K KANONI^ESKOJFORME u + MLAD IE ^LENY =0: |LLIPTI^ESKIJ SLU^AJ: D < 0, DEJSTWITELXNYH HARAKTERISTIK NET, NO ESTX DWA SEMEJSTWA KOMPLEKSNO SOPRQVENNYH HARAKTERISTIK (x y) i (x y)= C . dLQ PRIWEDENIQ K KANONI^ESKOJFORME (TOLXKOK PERWOJ) NEOBHODIMOSDELATX ZAMENU
= (x y) = (x y): 17 = (x y) = (x y) =+ =; = (x y) = (x y):


w\TOM SLU^AE URAWNENIQ PRIWODITSQ K WIDU u + u + MLAD IE ^LENY =0:
2.1.

sU]ESTWUET LI URAWNENIE WIDA n X

QWLQ@]EESQ \LLIPTI^ESKIM NA NEPUSTOM MNOVESTWE D D 6= n, I GIPERBOLI^ESKIM NA EGODOPOLNENII nnD? 2.2. wERNY LI SLEDU@]IE UTWERVDENIQ: ESLI URAWNENIE n X n
ij =1

R

ij =1

aij (x1 ::: xn) uxixj =0

aij 2 C ( n)

R

R

aij (x1 ::: xn) uxixj =0

aij 2 C ( )

R

R

n,

| GIPERBOLI^ESKOE (\LLIPTI^ESKOE, PARABOLI^ESKOE) W TO^KE (x1 ::: xn), TOONO QWLQETSQ GIPERBOLI^ESKIM (SOOTWETSTWENNO \LLIPTI^ESKIM, PARABOLI^ESKIM) TAKVEWNEKOTOROJOKRESTNOSTI \TOJTO^KI?
2.3.

dLQ KAKIHIZTREH URAWNENIJ NA PLOSKOSTI
ut = uxx utt = uxx utt = ;uxx

SU]ESTWUET NEPOSTOQNNOE RE ENIE S OGRANI^ENNYMI I ZAMKNUTYMI LINIQMI UROWNQ? 2.4. pRI KAKIH (x y z ) 2 3 URAWNENIE
uxy +(3x + y ; z )uxz +(3x ; y + z )uyz =0 QWLQETSQ GIPERBOLI^ESKIM? 2.5. nAJTI HARAKTERISTIKI URAWNENIQ uxx ; y2 uyy =0, PROHODQ]IE ^EREZ: A) TO^KU (1 2) B) TO^KU (1 0). 18

R


2.6.

A) nAJTI WSE HARAKTERISTIKI URAWNENIQ

uxy ; uyy ; ux + uy =0: B) nAJTI EGOOB]EE RE ENIE. 2.7. A) oPREDELITX TIP URAWNENIQ 2uxx + uxy =1. B) nAJTI EGO HARAKTERISTIKI. W) nAJTI EGOOB]EE RE ENIE. 2.8. A) oPREDELITX TIP URAWNENIQ uxx ; 2 uxy ; 3 2uyy + uy + ux =0 (2) W ZAWISIMOSTI OT DEJSTWITELXNOGO PARAMETRA . B) pRIWESTI URAWNENIE (2) KKANONI^ESKOJFORME. W) nAJTI OB]EE RE ENIE \TOGO URAWNENIQ. 2.9. A) nAJTI WSE , PRI KOTORYH SU]ESTWUET LINEJNAQZAMENA PEREMENNYH (x y) ! (t z ), PEREWODQ]AQURAWNENIE uxx +4uxy ; uyy =0 (3) | W URAWNENIE STRUNY utt = uzz | W URAWNENIE TEPLOPROWODNOSTI ut = uzz . B) tE VEWOPROSY OB URAWNENII uxx +4uxy ; uyy ; ux + 2uy =0: 2 W) pUSTX FUNKCIQ u(x y) 2 C 2(B1 (0)) UDOWLETWORQET URAWNENI@ (3) PRI NEKOTOROM ZNA^ENII < ;10. wOZMOVNO LI PRI 2 \TOM u 2 C 1(B1 (0))? = G) tOT VEWOPROS DLQ > 10. 2.10. pUSTX = f(x y) 2 2 j x2 +(y ; 2l)2 < l2 g, FUNKCIQ u 2 C 2 ( ) UDOWLETWORQET URAWNENI@ 2uxx + sign y uyy =0 W OBLASTI . 2 A) wOZMOVNOLI, ^TO u 2 C 3( ) W SLU^AE l> 0? = B) tOT VEWOPROS W SLU^AE l< 0. 19

R


2.11.

nA PLOSKOSTI (x t)

2

ut ; ux =0 (4) 2 utx +2 uxx =0: 2utt ; ( +1) (5) A) nAJTI HARAKTERISTIKI URAWNENIQ (4). B) pRI KAKIH L@BOE BESKONE^NO DIFFERENCIRUEMOE RE ENIE u(x t) URAWNENIQ (4) QWLQETSQ TAKVE I RE ENIEM URAWNENIQ (5)? dLQ KAVDOGO IZ NAJDENNYH W P. B) ZNA^ENIJ PARAMETRA : W) NAJTI HARAKTERISTIKI URAWNENIQ (5) G) UKAZATX NEKOTOROE RE ENIE u(x t) URAWNENIQ (5), KOTOROE NE QWLQETSQ RE ENIEM URAWNENIQ (4), ILI DOKAZATX, ^TOTAKOGO RE ENIQ NET. D) tOT VEWOPROS OB OGRANI^ENNOM RE ENII.
2.12.

R

2

RASSMATRIWA@TSQ URAWNENIQ

nAJTI HARAKTERISTI^ESKIE PLOSKOSTI URAWNENIQ

utt = uxx + uyy PROHODQ]IE ^EREZ PRQMU@ t =0, y = x.
2.13.

nAJTI WSE HARAKTERISTIKI URAWNENIQ

uxx +2uyy +2 uyz + 2uzz + uz + u =1 PRI KAVDOM 2 .
2.14.

nAJTI OB]EE RE ENIE URAWNENIQ
uxx +2uxy +2uxz + uyy +2uyz + uzz ; u =0:

R

2.15. A) pRIWESTI K WIDU, NESODERVA]EMU NESME ANNYH PROIZWODNYH WTOROGOPORQDKA, SLEDU@]EE URAWNENIE:

uxx + uxy ; 2uyy +3(x + y)ux +6(x + y)uy +9u =0: B) nAJTI OB]EE RE ENIE ISHODNOGO URAWNENIQ. 20


2.16. pRI KAKIH WE]ESTWENNYH I TEOREMA O SU]ESTWOWANII IEDINSTWENNOSTI ANALITI^ESKOGO RE ENIQ NEHARAKTERISTI^ESKOJ OBOB]ENNOJZADA^I kO I PRIMENIMA K SLEDU@]EJ ZADA^E:

u S = ux S = uy S =0 GDE S ZADAETSQ URAWNENIEM x + y =1?
2.17. A) nAJTI WSE ZNA^ENIQ , DLQ KOTORYH SU]ESTWUET FUNKCIQ u(x y), PRINADLEVA]AQ C 1( 2) \ C 2(fx > 0g) \ C 2(fx 6 0g), UDOWLETWORQ@]AQ URAWNENI@ uxx + uxy + uyy =0 PRI x 6=0 I USLOWIQM

uxy +3uyy + u = xy

R

u x=0 =1 ux x=0 =0 2 NONE PRINADLEVA]AQ C 2(Ba (0 y0)) NI PRI KAKIH y0 2 I a> 0. B) nAJTI WSE , DLQ KOTORYH PRI L@BOJ f 2 L1 loc( ) FUNKCIQ u(x y) = f (x + y) UDOWLETWORQET W D0( 2) URAWNENI@ IZ PUNKTA A).

RR R

Lu = f c DOPOLNITELXNYMI USLOWIQMI Bj u = gj . |TA ZADA^A POSTAWLENA KORREKTNO W PARE LINEJNYH NORMIROWANNYH PROSTRANSTW E0 I E1, ESLI 1) DLQ WSEHNABOROW DANNYH (f gj ) 2 E1 SU]ESTWUET RE ENIE u 2 E0 2) \TO RE ENIE EDINSTWENNO 3) SU]ESTWUET TAKAQPOSTOQNNAQ K , NE ZAWISQ]AQOT (f gj ), ^TO kukE0 6 K k(f gj )kE1 : pOD^ERKNEM, ^TO PROSTRANSTWA E0 E1 NE OBQZANY BYTX BANAHOWYMI, T.E. POLNYMI.

kORREKTNOSTX POSTANOWKI ZADA^ oPREDELENIE KORREKTNOSTI. pUSTX ZADANOURAWNENIE

21


2.18.

rASSMATRIWAETSQ ZADA^A

utt = uxx (x t) 2 := (x t) j 0 6 t 6 2x 0 u t=0 =0 u t=2x = '(x) 0 6 x< 2( ) \ L ( ) 0 (0) = ' '2C + '(0) = ' 1+

kORREKTNA LI ONA W PARE PROSTRANSTW (E0 E1), GDE
E0 = C 2( ) \ L1 ( ) E1 = '(x) j ' UDOWLETWORQET (6)
2.19.
kukE k'kE
0

RR

6 x< +
+
1

1

00(0) = 0:

(6)

= sup ju(x t)

j

1

= sup j'(x)j?

R
+

kORREKTNA LI KRAEWAQZADA^A:
ut = u t=0 = u x=0 = uxx '(x) u x=1 =0 (x t) 2 Q := (0 1) (0 2] 06x61 06t62

W PARE PROSTRANSTW (E0 E1), GDE
2 E0 = u(x t) j u 2 Cxt1(Q) \ C (Q) kukE0 =max ju(x t)j Q 1(0 1]) '(0) = '(1) = 0 E1 = '(x) j ' 2 C k'kE1 =max j'(x)j? 0 1]

2.20.

kORREKTNA LI ZADA^A kO I DLQ URAWNENIQ

WPOLOSE Q := Q
22

R
T

utt = uxx (0 2

u t=0 = '1 (x)

R


W PARE PROSTRANSTW (E0 E1), GDE
E0 = u(x t) j u 2 C 2(Q) sup ju(x t)j < +
kukE
0

= sup ju(x t)j
Q

Q

1

E1 =

(x)= '1(x) '2 (x) j '1 2 C 2( ) '2 2 C 1( ) sup j'j (x)j < +1 (j =1 2) = sup j'1(x)j + sup j'2(x)j?

;

k kE1

R

R

R

R

R

2.21.

kORREKTNA LI ZADA^A kO I DLQ URAWNENIQ

ut = ;uxx WPOLOSE Q := QT (0
R

x

2

R

21 E0 = u(x t) j u 2 Cxt (Q) \ C (Q) \ L1 (Q)

p

2

2.22.

N

o n j E1 = '(x) d ' 2 C ( ) \ L1 ( ) (j =0 1 ::: p) dxj p X dj '(x) kukE0 =sup ju(x t)j k'kE1 = sup dxj Q j =0

RR
utt = ux

R

FIKSIROWANO? rASSMATRIWAETSQ ZADA^A kO I DLQ URAWNENIQ

S USLOWIQMI
u t=0 = '1 (x) ut t=0 = '2 (x): 23


1 E0 = u(x t) j u 2 Cxt2(Q) \ L1 (Q) Q := Q1 n o j E1 = =('1 '2) d 'ji 2 C ( ) \ L1 ( )(i =1 2 j =0 1 2) dx 22 X X dj 'i (x1 ) k kE1 = sup dxj ? kukE0 = sup ju(x t)j Q i=1 j =0

A) pRIMENIMA LI K NEJ TEOREMA kO I - kOWALEWSKOJ W SLU^AE ANALITI^ESKIH '1 I '2 ? B) kORREKTNA LI \TA ZADA^A W PARE PROSTRANSTW (E0 E1), GDE

RR

R

2.23.

ut + ux =0 (x t) 2 Q := + + u x=0 = g2(t) t 2 + : u t=0 = g1(x) x 2 + nAJTI WSE , PRI KOTORYH \TA ZADA^A KORREKTNA W PARE PROSTRANSTW (E0 E1), GDE E0 = C 1(Q) \ L1 (Q)g kukE0 = sup ju(x t)j E
Q 1( + ) \ L1 ( + =(0 g1 g2) j gj 2 C 1= 0 g1(0) = g2(0) g2(0) + k kE1 = sup jg1(x)j + sup jg2(t)j:

rASSMATRIWAETSQ KRAEWAQZADA^A

R

R RR R

R

RR

R
+

R
+

) (j =1 2) 0 g1(0) = 0

2.24.

rASSMOTRIM ZADA^U kO I W POLOSE = 1 0 y0] W x u + u =0 W u 2 C 2 ( ) \ C 1( )
u y=0 = '(x) uy y=0 = (x)

'(x) (x)| OGRANI^ENNYE NEPRERYWNYE FUNKCII NA 1: kORx REKTNA LI \TA ZADA^A W PARE PROSTRANSTW u 2 E0 (' ) 2 E1 GDE E0 = C ( ) kukE0 =sup ju(x t)j E1 = C ( 1) C ( 1) x x 24

R

R

2 xy

RR

k kE

1

=sup j'(x)j +sup j (x)j?

R

R


3 uRAWNENIQ GIPERBOLI^ESKOGO TIPA
2 sU]ESTWUET LI FUNKCIQ u 2 C 2(B1 (0) nf0g), UDOWLETWORQ2 @]AQW B1 (0) nf0g URAWNENI@ ux1x1 = ux2 x2 INEOGRANI^ENNAQ 2 (0)nf0g? W B1 3.2. pUSTX FUNKCIQ u(x) 2 C 2( 2) UDOWLETWORQET URAWNENI@ 2 ux1 x1 = ux2 x2 W 2, I u(x)= 0 PRI WSEH x 2 B1 (0). nAJTI NAI2, NA KOTOROMNEOBHODIMO u(x)= 0. BOLX EE MNOVESTWO W 3.3. rASSMOTRIM ZADA^U kO I NA PLOSKOSTI (x t) S DANNYMI NA HARAKTERISTIKE ft = xg DLQ WOLNOWOGOURAWNENIQ

3.1.

RR

R

u t=x = '(x) ux t pRIDUMAJTE TAKIE GLADKIE FUNKCII '(x), ZADA^A NEIMELA RE ENIQ. 3.4. pRIWESTI PRIMER FUNKCIJ ' 2 C 2(

utt = uxx

=x

kO I

R

= (x): (x), ^TOBY DANNAQ

) TAKIH, ^TOZADA^A

uxx +5uxy ; 6uyy =0 u y=6x = '(x) uy y=6x = (x) A) IMELA BYRE ENIE. eDINSTWENNOLI \TO RE ENIE? B) NEIMELA BY RE ENIJ. 3.5. pUSTX Q = 0 1] 0 1], f 2 C 2(@Q). eDINSTWENNO LI REENIE u(x t) 2 C 2(Q) SLEDU@]EJ ZADA^I: utt = uxx (x t) 2 Q u @Q = f ?

zADA^A kO I DLQ WOLNOWOGO URAWNENIQ
utt = a2 xu + u t=0 GDE '(x), (x), f (x t CIQ u(x t) 2 C 2(x 2

kLASSI^ESKIM RE ENIEM ZADA^I kO I DLQ WOL