Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://new.math.msu.su/diffur/URCHP_15.pdf Дата изменения: Fri Apr 24 17:44:01 2015 Дата индексирования: Sat Apr 9 22:13:17 2016 Кодировка: Windows-1251

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ОЛИМПИАДА 2015

1. Найти решение уравнения y + 4 2. Найти общее решение уравнения 3. Сколько решений имеет задача

y = (x - 1) u
xx

из

D (R).

- 4uxy + 4uyy + ux - 2uy = 0. u(x1 , x2 , x3 ) = 1, |x| < 1, u = a + x3 + x5 + x7 1 2 3 n |x|=1 = (0, ) Ч (0, ) :

в зависимости от параметра a? 4. Рассматривается задача в полуполосе
utt = uxx , u
x=0

=u

x=

= 0.

tT

Может ли нетривиальное решение этой задачи быть равно нулю а) в полуполосе (x, t) (, ) Ч (0, ); б) на полупрямой x = B , t > 0? 5. Пусть
u(x, t)

0
ut |t



r

E





B



x

решение задачи Коши:
utt = u
xx

t > 0, x R,

u|t

=0

= (x)

0,

=0

= (x) T0

0, T >T
0

и известно, что u(x, u 0, иначе, если T 6. Пусть

T) = 0 < T0

при |x| > 2015 при некотором T > 0. Указать , то возможно нетривиальное решение u = 0.
x (0, ), t > 0, u
x=0

такое, что если

, то

Докажите, что существует u0(x, t) периодическая по t функция, такая что t . 7. Пусть u(t, x) решение задачи Коши
ut = u + u, (x) u
t=0

ut = u

xx

+ sin t,

=u

x=

= 0. u(x, t) - u0 (x, t)C - 0

при

= (x), u(t, x)

финитная функция. Может ли соответствующее решение функцией? 8. Рассмотрим задачу Коши
utt = -ut + uxx , (x) u(0, x) = (x),

быть при некотором

t>0

финитной

ut (0, x) = 0,

финитная функция.
-

а) Докажите, что

[ ] (ux )2 + (ut )2 dx 0

при

t .

б) Имеет ли решение передний 9. Будет ли решение задачи где
(x)

фронт

или

задний фронт

?
u(x, 0) = (x),

непрерывная и ограниченная функция, непрерыно зависеть от начальных условий? гармоническая функция в
R,
2

ut + uxx = 0,

x R, t > 0,

10. Пусть

u(x, y )-

|u(x, y )| dx < C,
-

где C не зависит от y. Верно ли, что
yT A
S S S l2 l1 S T S S

u 0?

11. Рассматривается задача Дирихле для уравнения Лапласа в равностороннем треугольнике T ,
u
l
1

=u

(x) |u(x, y )|

гладкая функция, (0) = (B ) = 0. Докажите, что C r , > 1, r расстояние от точки A до точки

l

2

= 0, u

l

3

= (x), (x, y ).

0

l

3

B

E

x