Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://new.math.msu.su/diffur/URCHP_14.pdf Дата изменения: Sun May 4 13:55:21 2014 Дата индексирования: Sat Apr 9 22:13:07 2016 Кодировка: Windows-1251

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ОЛИМПИАДА 2014

1. Найти решение 2. Пусть u(x1, x2, Найти 3. Найти

y - 2y + 5y = x3 )

u(0, 0, 0)
t

.

из D(R). решение задачи Дирихле в шаре u = 0 при |x| < 2, u |x|=2
(2014)

(x)

{|x| < 2} = x2 . 1

в

R3 :

lim u(t, x, y ),

где

u(t, x, y )

решение задачи Коши
2

ut = u

xx

+ uyy , t > 0, (x, y ) R ,

u

t=0

) x2 + x|x| cos2 y = 1 + x2

(

4. Сечение трубки представляет собой кольцо с внутренним и внешним радиусами r1 и r2, между ними находится вода. Изнутри трубка охлаждается до температуры -T1 < 0, снаружи поддерживается температура T2 > 0. Какой толщины лед появится на внутренней стенке? Теплопроводности льда и воды будем считать равными.
ut (t, ) = x u(t, ), t > 0, r1 < |x| < r2 , x x u = ( ), x t=0 u = -T1 , u = T2 ,
|x|=r1 |x|=r2

r2 T
ї d r1 d d r

r : lim u(t, ) x
t

|x|=r

= 0.

5. На плоскости

(x, t)

найти область определенности решения задачи Коши-Гурса и само решение:
utt - uxx = 0, u(x, 0) = sin x, ut (x, 0) = ex , 0 < x < 1, ux (0, t) = 1, 0 < t < 1. u = (t, x),

6. Корректна ли задача
(t, x)

непрерывная функция,

Lu = 0

в

K,

K = (0, ) Ч (0, ),

если

K

а)

б) 7. Рассматривается краевая задача для уравнения колебаний струны
utt = uxx , u u
t=0

2 - 2, t x 2 2 L 2 - 2? t x L

0 < t < T , 0 < x < ,
t t=0

= u0 (x), u = (t),

= u1 (x), = (t),

0 < x < , 0 < t < T.

x=

u n

x=

Корректна ли эта задача? 8. Пусть (x) заданная финитная функция. Можно ли найти такую непрерывную функцию f (x), чтобы решение задачи ut = uxx при x R, u(0, x) = f (x) удовлетворяло условию u(T , x) = (x)? (Иначе говоря, можно ли так нагреть стержень, что в момент времени t = T распределение температуры станет (x)? ) 9. Могут ли семейства кривых
y = x3 + C1 , y = -x5 + C2 , - < C1 , C2 <

быть характеристиками гиперболического на плоскости уравнения?