Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://new.math.msu.su/diffur/ODU_13.pdf Дата изменения: Sun May 19 12:20:37 2013 Дата индексирования: Sat Apr 9 22:08:38 2016 Кодировка: Windows-1251

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОЛИМПИАДА 2013

1. Могут ли все ненулевые решения системы
x = f (x), x Rn , f C 1 (Rn ), f (0) = 0,

2. 3. 4. 5. 6.

быть неустойчивыми по Ляпунову, если нулевое решение этой системы 1) неустойчиво; 2) устойчиво; 3) асиптотически устойчиво по Ляпунову? Часы с маятником (совершающим малые колебания, без трения) спешили на 2 ч в сутки. Когда грузик на маятнике опустили на 1 см, часы стали спешить на 1 ч в сутки. На сколько см еще нужно опустить грузик, чтобы часы шли точно? Найти кривую, у которой длина отрезка любой ее касательной, заключенного между координатными осями, равна фиксированному числу a > 0. Существует ли у уравнения + sin = 0 такое решение , для которого функция t sin (t) была бы Е непериодической? Пусть отображение f : Rn Rn принадлежит классу C . Векторнозначная функция y : R Rn является решением уравнения y = f (y) с начальными условиями y(0) = 0 и удовлетворяет условию |y (x)| при x 1 - 0. Следует ли отсюда, что при достаточно малых y0 решение рассматриваемого уравнения с начальными условиями y(0) = y0 не может быть определено для всех x > 0?
{
2 x1 + 1 x1 = u(t), Е 2 x2 + 2 x2 = u(t), Е

x1 (0) = x0 , 1 x2 (0) = x0 , 2

x1 (0) = x0 1 x2 (0) = x0 . 2

Можно ли так двигать тележку с двумя маятникам (т.е. правильно подобрать общую функцию u(t) ), чтобы остановить оба маятника, т.е. можно ли для заданных чисел i > 0, x0, x0, i = 1, 2, указать i i функцию u(t) такую, чтобы для некоторого T > 0 было выполнено x1(T ) = x2(T ) = 0, x1(T ) = x2(T ) = 0 ? Рассмотрите два случая: 1 = 2 и 1 = 2 .
r r h h h 'h E h hz ~ t t E

&%&%

7. Решите уравнение

u u + (2y - u) = y + 2u. x y >0

8. Докажите, что для любого

можно указать такую гладкую функцию
x + (1 + a(t))x = 0, Е t > 0,

|a(t)| < ,

что уравнение

имеет неограниченное решение. 9. Решите уравнение du - u2 = x14 . dx 10. Рассмотрим дифференциальное уравнение y + p(x)y = 0, где p(x) непрерывная функция, p x R . Пусть y такое его решение, что y (x1 ) = y (x1 ) = 0, y (x1 ) = y0 в некоторой точке При каких значениях y0 это решение обращается в ноль хотя бы в одной точке x2 > x1?
(x) < 0 x1 R.

,