Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://new.math.msu.su/diffur/ODU_12.pdf Дата изменения: Wed Feb 20 20:52:14 2013 Дата индексирования: Sat Apr 9 22:08:28 2016 Кодировка: Windows-1251

Обыкновенные дифференциальные уравнения Олимпиада 2012

1. Докажите, что для одного (какого именно?) из двух уравнений y = y (0) = 0 продолжается на всю полуось x 0, а для другого нет. 2. Известно, что если все коэффициенты нормированного (т. е. уравнения непрерывны на некотором интервале, то все его Верно ли аналогичное утверждение для отрезка? 3. Найдите матрицу
A

+y 2 + x2

решение с начальным условием .

с единичным старшим коэффициентом) линейного решения продолжаются на весь этот интервал

системы

x = Ax

xR () () 1 0 x(0) = , x(0) = , 0 1
2

,

, если некоторого ее решение
() -2 x(1) = . 0

x(ћ)

удовлетворяет условиям

4. Для изолированной особой точки неизвестной линейной автономной системы на плоскости нарисованы все ее n собственных (определяемых собственными векторами) прямых (при n = 2 седло или узел, при n = 1 вырожденный узел, а при n = 0 центр или фокус соответственно), а также вектор фазовой скорости в некоторой не лежащей на них точке плоскости. При каких значениях n по этому рисунку можно однозначно определить, каков тип особой точки и является ли она устойчивой? 5. Докажите, что уравнение имеет два ненулевых решения
y
1

y - (1 + e-x )y = 0

и

y2

, удовлетворяющие условиям
R
n

y1 (x) y1 (x)

1

и

y2 (x) y2 (x)

-1

при

x .

6. При n = 1 для любого векторного поля f C(G) в области G а) если f (x0 ) = 0 или б) если f (x0 ) = 0 и существует производная f (x0 ) , то для любого t0 R через точку (t0 , x0 ) проходит локально ли эти признаки локальной единственности при n > 1 ? 7. При любом ли верно, что:

верно следующее: Верны

единственная интегральная кривая.

nN если данные n скалярных n раз непрерывно дифференцируемых функций, определенных на общем интервале, не являются линейно зависимыми ни на каком меньшем интервале, то их определитель Вронского хотя бы в одной точке отличен от нуля

?

d 8. Пусть dx оператор дифференцирования в пространстве многочленов от переменной ( d) 2012. Найдите все собственные значения оператора exp dx и их кратности. 2

x

степени меньше
-1

9. Все собственные значения матрицы A(t), непрерывно зависящей от t, действительны и не превосходят при всех t R. Следует ли отсюда, что нулевое решение линейной неавтономной системы x = A(t) x а) асимптотически устойчиво? б) устойчиво? 10. Можно ли так подобрать правую часть уравнения
x = f (x, x), Е t R,

чтобы из любой начальной точки a) за бесконечное время; b) за конечное время?

(x(0), x(0))

фазовая траектория приходила бы в точку (0,0):