Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://new.math.msu.su/diffur/ODU_06.pdf Дата изменения: Wed Feb 20 20:52:08 2013 Дата индексирования: Sat Apr 9 22:07:36 2016 Кодировка: Windows-1251

Олимпиада по обыкновенным дифференциальным уравнениям 2006 г.
1. (1 балл) Одно из решений уравнения x = A(t)x + f (t) устойчиво по Ляпунову. Докажите, что любое решение устойчиво по Ляпунову. 2. (2 балла) Найдите производную порядка n по параметру a в точке a = 0 выражения a

det
0

exp(At) dt ,

где A произвольная обратимая матрица размерности n.

3. (2 балла) Докажите, что у линейной системы x = Ax не может быть предельных циклов (изолированных периодических решений).
4. (5 баллов) Известно, что x 0 решение уравнения x = f (x, t), x R, и что решение y 0 его линеаризации y = fx (0, t)y асимптотически устойчиво. Покажите на примере, что нулевое решение исходного уравнения может не быть асимптотически устойчивым. 5. Дифференциальное уравнение x = f (x), x R, с непрерывной правой частью не удо влетворяет в некоторых точках условиям теоремы о единственности решения. Может ли оно иметь: а) (2 балла) множество решений xa (t), a R, для которых xa (0) = 0 и xa (1) = a? б) (3 балла) два решения x1 (t), x2 (t), такие, что x1 (0) = 0, x1 (1) = 1, а x2 (0) = 1, x2 (1) = 0? в) (2 балла) такие же вопросы для для уравнения вида x = f (t, x), x R. 6. (3 балла) Докажите, что для всякого ненулевого решения x(t) уравнения x + 2 (t2 + Е 1)x = 0 и любого > 0 найдутся два различных момента времени t1 , t2 , такие, что x(t1 ) = x(t2 ) = 0 и |t1 - t2 | < . 7. (5 баллов) Докажите, что нулевое решение уравнения x + (x) + f (x) = 0 асимптотически Е устойчиво, если известно, что (0) = f (0) = 0, и при x = 0 x(x) > 0, xf (x) > 0. 8. (5 баллов) Решить систему уравнений x = Ax с матрицей 0 -1 sin t 1 0 - cos t A= - sin t cos t 0 9. а) (2 балла) Пусть x1 (t) и x2 (t) два линейно независимых решения линейного дифференциального уравнения третьего порядка. Может ли определитель Вронского x1 (t) и x2 (t) обращаться в ноль на некотором интервале? б) (3 балла) Пусть x1 (t), x2 (t) и x3 (t) три линейно независимых решения линейного дифференциального уравнения четвертого порядка. Может ли определитель Вронского x1 (t), x2 (t) и x3 (t) обращаться в ноль на некотором интервале?


10. (3 балла) Нарисовать фазовый портрет системы

x = x2 - y 2 - x y = 2xy - y
11. (4 балла) Оцените отличие от 2 периода решения уравнения физического маятника x = - sin x с малой амплитудой x(0) = ч ( x(0) = 0 ). Е 12. (5 баллов) Правая часть дифференциального уравнения математического маятника с трением (и внешней силой) x + x + x = f (t) Е является гладкой функцией, удовлетворяющей условию |f (t)| (C + |t|)-k , k > 0, неотрицательное, положительное число. При каких значениях , , k можно так выбрать f (t), чтобы раскачать маятник, то есть чтобы для некоторого решения sup |x(t)| при T ?
t[0,T ]