Äîêóìåíò âçÿò èç êýøà ïîèñêîâîé ìàøèíû. Àäðåñ îðèãèíàëüíîãî äîêóìåíòà : http://new.math.msu.su/department/probab/staff/ste-2015.doc Äàòà èçìåíåíèÿ: Mon Nov 16 00:24:17 2015 Äàòà èíäåêñèðîâàíèÿ: Sun Apr 10 01:20:22 2016 Êîäèðîâêà: koi8-r

À.Â.Ëåáåäåâ

ÑÒÎÕÀÑÒÈ×ÅÑÊÀß ÒÅÎÐÈß ÝÊÑÒÐÅÌÓÌÎÂ

Ïðîãðàììà íà îñåíü 2015 ãîäà
ñïåöêóðñà ïî âûáîðó ñòóäåíòà
ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÌÃÓ

1. Áàçîâûå ïîíÿòèÿ. Ìàêñèìóì-óñòîé÷èâûå ðàñïðåäåëåíèÿ è òèïû. Òåîðåìà îá
ýêñòðåìàëüíûõ òèïàõ.
2. Ñõîäèìîñòü âåðîÿòíîñòåé P(Mn˜un). Óñëîâèå Á.Â.Ãíåäåíêî. Êðèòåðèè
ïðèíàäëåæíîñòè ê îáëàñòÿì ïðèòÿæåíèÿ ýêñòðåìàëüíûõ òèïîâ. Ïðèìåðû. Ìåòîä
ôóíêöèîíàëüíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ. Ñëó÷àé äèñêðåòíûõ ðàñïðåäåëåíèé. Ïðèìåðû
íåïðåðûâíûõ ðàñïðåäåëåíèé, íå ïðèíàäëåæàùèõ îáëàñòè ïðèòÿæåíèÿ êàêîãî-ëèáî
ýêñòðåìàëüíîãî òèïà.
3. Ïðåâûøåíèÿ è k-ûå ìàêñèìóìû. Ñõîäèìîñòü ê ïóàññîíîâñêîìó ïðîöåññó.
Âîçðàñòàþùèå, öåíòðàëüíûå è ïðîìåæóòî÷íûå ðàíãè. Ìîäåëü ïðî÷íîñòè ïó÷êà
âîëîêîí.
4. Ìàêñèìóì-ïîëóóñòîé÷èâûå ðàñïðåäåëåíèÿ è èõ ñâîéñòâà. Ïðèìåðû. Îáîáùåíèÿ
è ïðèëîæåíèÿ ê íåçàâèñèìûì ïðèçíàêàì ÷àñòèö â âåòâÿùèõñÿ ïðîöåññàõ.
5. Ðàñïðåäåëåíèÿ ñ òÿæåëûìè (ñòåïåííûìè è ïðàâèëüíî ìåíÿþùèìèñÿ õâîñòàìè) è
èõ ñâîéñòâà. Ñâÿçü ñ óñòîé÷èâûìè ðàñïðåäåëåíèÿìè. Ïðèëîæåíèÿ.
Ñòàòèñòè÷åñêèå îöåíêè õâîñòîâîãî èíäåêñà, õâîñòà è êâàíòèëåé.
6. Ñóáýêñïîíåíöèàëüíûå ðàñïðåäåëåíèÿ è èõ ñâîéñòâà. Ïðèìåðû. Äîñòàòî÷íûå
óñëîâèÿ ñóáýêñïîíåíöèàëüíîñòè.
7. Çàêîíû áîëüøèõ ÷èñåë äëÿ ìàêñèìóìîâ, àääèòèâíûå è ìóëüòèïëèêàòèâíûå.
Ñëó÷àé äèñêðåòíûõ ðàñïðåäåëåíèé. Óñèëåííûå çàêîíû áîëüøèõ ÷èñåë. Ïðèìåðû.
8. Óñëîâèÿ ïåðåìåøèâàíèÿ D, D(un), D'(un). Ñëó÷àé m-çàâèñèìîñòè. Ïðèìåð.
9. Ýêñòðåìóìû ãàóññîâñêèõ ñòàöèîíàðíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé.
10. Ýêñòðåìàëüíûé èíäåêñ ñòàöèîíàðíîé ñëó÷àéíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, åãî
ñâîéñòâà è èíòåðïðåòàöèè. Êëàñòåðèçàöèÿ ïðåâûøåíèé âûñîêîãî óðîâíÿ.
Ïðèìåðû. Ñòàòèñòè÷åñêèå îöåíêè ýêñòðåìàëüíîãî èíäåêñà. Ýêñòðåìàëüíûé èíäåêñ
ñòàöèîíàðíîãî ñëó÷àéíîãî ïîëÿ íà öåëî÷èñëåííîé ðåøåòêå. Ïðèìåðû.
11. Ëèíåéíûå ñòîõàñòè÷åñêèå ðåêóððåíòíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Òÿæåëûå
õâîñòû, ýêñòðåìóìû è êëàñòåðû. Ïðèëîæåíèå ê ïðîöåññàì ARCH è GARCH. Ñëó÷àé
îáîáùåííîãî ëàïëàñîâñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Ñâîéñòâà ñðàâíåíèÿ. Òåîðåìà
íåïðåðûâíîñòè.
12. Áðîóíîâñêèå ñìåñè. Ïðèìåðû. Èñïîëüçîâàíèå ïðîöåññîâ ñ íåïðåðûâíûì
âðåìåíåì. Ñâîéñòâà ýêñòðåìàëüíîãî èíäåêñà â ñëó÷àå áðîóíîâñêèõ ñìåñåé.
13. Ýêñòðåìóìû ãàóññîâñêèõ ñòàöèîíàðíûõ ïðîöåññîâ ñ íåïðåðûâíûì âðåìåíåì.
14. Êîïóëû ìíîãîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé è èõ ñâîéñòâà. Òåîðåìà Ñêëÿðà.
Ïðèìåðû. Àðõèìåäîâû êîïóëû. Êîýôôèöèåíòû êîððåëÿöèè Êåíäàëëà è Ñïèðìåíà.
Êîýôôèöèåíòû âåðõíåé è íèæíåé õâîñòîâîé çàâèñèìîñòè. Ìíîãîìåðíûå
ðàñïðåäåëåíèÿ ýêñòðåìóìîâ. Êîïóëû ýêñòðåìàëüíûõ çíà÷åíèé. Ñòàòèñòè÷åñêèé
àíàëèç êîïóë.
15. Ýêñòðåìàëüíûå èíäåêñû â ñõåìå ñåðèé (äâà îïðåäåëåíèÿ) è èõ ñâîéñòâà.
16. Ýêñòðåìàëüíûå èíäåêñû ñèñòåì çàâèñèìûõ ïðèçíàêîâ ÷àñòèö â âåòâÿùèõñÿ
ïðîöåññàõ.
17. Ýêñòðåìàëüíûå èíäåêñû â ìîäåëÿõ ñ êîïóëàìè.
18. Ýêñòðåìàëüíûå èíäåêñû â ïîðîãîâûõ ìîäåëÿõ.


ËÈÒÅÐÀÒÓÐÀ

1. Ëèäáåòòåð Ì., Ëèíäãðåí Ã., Ðîòñåí Õ. Ýêñòðåìóìû ñëó÷àéíûõ
ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé è ïðîöåññîâ. Ì.: Ìèð, 1989.
2. Ãàëàìáîø ß.È. Àñèìïòîòè÷åñêàÿ òåîðèÿ ýêñòðåìàëüíûõ ïîðÿäêîâûõ ñòàòèñòèê.
Ì.: Íàóêà, 1984.
3. Ôåëëåð Â. Ââåäåíèå â òåîðèþ âåðîÿòíîñòåé è åå ïðèëîæåíèÿ. Ò. 2. Ì.: Ìèð,
1984.
4. Õàððèñ T. Òåîðèÿ âåòâÿùèõñÿ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ. Ì.: Ìèð, 1966.
5. Ãîëäàåâà À.À. Òÿæåëûå õâîñòû, ýêñòðåìóìû è êëàñòåðû ëèíåéíûõ
ñòîõàñòè÷åñêèõ ðåêóððåíòíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé. Äèññ. ê.ô.-ì.í. ÌÃÓ, 2014.

6. Ëåáåäåâ À.Â. Íåêëàññè÷åñêèå çàäà÷è ñòîõàñòè÷åñêîé òåîðèè ýêñòðåìóìîâ.
Äèññ. ä.ô-ì.í. ÌÃÓ, 2015.
7. Embrechts P., KlÝppelberg C., Mikosh T. Modelling extremal events for
insurance and finance. Springer, 2003.
8. McNeil A., Frey R., Embrechts P. Quantitative risk management. Princeton
Univ. Press, 2005.
9. Nelsen R. An introduction to copulas. Springer, 2006.
10. de Haan L., Ferreira A. Extreme value theory. An introduction.
Springer, 2006.