Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://new.math.msu.su/department/probab/spec/prog-shashkin.doc Дата изменения: Mon Sep 19 17:37:33 2011 Дата индексирования: Sun Apr 10 01:33:30 2016 Кодировка: koi8-r

Программа годового спецкурса
«Предельные теоремы для случайных величин»
для студентов 2 курса
(доцент А.П.Шашкин, осень 2010-весна 2011)

Задачей первой части спецкурса является введение в теорию вероятностей с
изложением основных определений и фактов (включая необходимые сведения из
действительного анализа). Во второй части курса рассматриваются некоторые
важные задачи и подходы, которые обычно подробно не разбираются в
стандартном курсе теории вероятностей и могут быть достаточно элементарно
изложены.

1. Основные понятия дискретной теории вероятностей. Классическое
определение вероятности. Формулы полной вероятности и Байеса. Случайные
величины на конечном вероятностном пространстве. Независимость. [1, §
1.1, 1.3].
2. Математическое ожидание в дискретном случае. Дисперсия. [1, § 1.4].
3. Неравенство Чебышева. Применение к доказательству слабого закона
больших чисел для схемы Бернулли. Полиномы Бернштейна. [1, § 1.5].
4. Вероятностное пространство, аксиоматика Колмогорова, случайные
величины. [1, § 2.1-2.4].
5. Интеграл Лебега, математическое ожидание в общем случае, моменты
случайной величины. [1, § 2.6].
6. Примеры случайных величин. Пуассоновское, равномерное, нормальное,
показательное распределения. [1, § 2.3].
7. Сходимости по вероятности и почти наверное. Усиленный закон больших
чисел для независимых одинаково распределенных случайных величин с
конечным математическим ожиданием (доказательство Этемади). [1, § 2.10;
3].
8. Сходимость по распределению. Метод Стейна. Центральная предельная
теорема (для независимых одинаково распределенных случайных величин,
обладающих третьим моментом). [1, § 2.10; 2, § 3.1.4].
9. Характеристические функции, их основные свойства. Связь сходимости по
распределению и сходимости характеристических функций (без
доказательства). Центральная предельная теорема для независимых
одинаково распределенных случайных величин с конечной дисперсией. [1,
§ 2.12].
10. Условия, при которых распределение однозначно определяется своими
моментами. Случайные матрицы Вигнера. Предельная теорема для среднего
распределения собственных значений (без доказательства). [1, § 2.12].
11. Ассоциированность случайных величин. Преобразования, сохраняющие
ассоциированность. [2, § 1.1.1-1.1.3]
12. Строго стационарные случайные последовательности. Ковариационная
функция. Центральная предельная теорема Ньюмена. [2, § 3.1.1-3.1.3; 4]
13. Условные математические ожидания. Мартингалы с дискретным временем.
Теорема Дуба об остановке. Случайное блуждание, задача о разорении
игрока. [1, § 1.11].
14. Теорема Биркхофа-Хинчина (доказательство Кина-Петерсена).[5].

Литература

1. А.Н.Ширяев. Вероятность. М., МЦНМО, 2007.
2. А.В.Булинский, А.П.Шашкин. Предельные теоремы для ассоциированных
случайных полей и родственных систем. М., ФИЗМАТЛИТ, 2008.
3. N.Etemadi. An elementary proof of the strong law of large numbers.
Probability Theory and Related Fields, Vol. 55 (1981), No. 1, p. 119-
122.
4. C.M.Newman. Normal fluctuations and FKG inequalities. Communications
in Mathematical Physics, 1980, No. 2, 1980, p. 119-128, а также
http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1103907978 .
5. M.Keane, K.Petersen. Easy and nearly simultaneous proofs of the
Ergodic Theorem and Maximal Ergodic Theorem. IMS Lecture Notes-
Monograph Series Vol. 48 (Beachwood, Ohio, 2006), p. 248-251, а также
http://projecteuclid.org/euclid.lnms/1196285825 .