Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://new.math.msu.su/department/probab/spec/Materialy_po_kursam_Tutubalina/Finstat/Vovk%20i%20SHejfer/aktiv%20D.doc Дата изменения: Thu Mar 20 13:03:39 2014 Дата индексирования: Sun Apr 10 03:35:49 2016 Кодировка: koi8-r

Хеджирование опционов с помощью актива D по Вовку-Шейферу

В наиболее совершенной форме идеология хеджирования опционов выражена в
хеджировании с помощью гипотетического актива D, предложенного Вовком и
Шейфером.
Обозначения. Через [pic] обозначим цену какого-либо актива. При этом
[pic] где h=dt - шаг по времени, в теории предполагаемый стремящимся к
нулю, но при сопоставлении теории с экспериментом обычно h = 1 сутки (с
пропуском нерабочих дней), а T - некоторый фиксированный момент времени
(кратный h), в который по опциону выплачивается сумма [pic] Для
последующего сравнения с хеджированием по Блэку-Шоулсу следует считать,
что банковская ставка r=0 (а в хеджировании по Вовку-Шейферу банковский
вклад, а следовательно, и банковская ставка не участвуют).
Предполагается, что на финансовом рынке существует (привязанный к
основному активу S(t) и к моменту исполнения опциона T) актив D(t),
который платит владельцу его дивиденды по следующему правилу: в момент
t+h уплачивается сумма, равная [pic]где обозначено, по определению, [pic]
При этом требуется, чтобы [pic]при [pic] Сценарий выплаты дивидендов
состоит в том, что если актив D куплен в момент s, а продан в момент t>s,
то покупатель получит дивиденды в моменты s+h,s+2h,.,t. (Дивиденды
начинают выплачиваться в следующий момент после момента покупки и
прекращают выплачиваться в следующий момент после момента продажи.)
Каких-либо вероятностных свойств у активов S(t),D(t) не предполагается,
но предполагается, что дикость возможных ходов рынка при малых h=dt
ограничена соотношениями [pic] Эти соотношения понимаются в расплывчатом
смысле совпадения по порядку величины; этот расплывчатый смысл уточняется
при выводе следующего далее дифференциального уравнения.
Рассмотрим самофинансируемый портфель инвестора I(t) , составленный из
[pic]единиц актива S(t) и ((t) единиц актива D(t). Условие
самофинансируемости означает, что
[pic] (1)
Допустим, что цена рассматриваемого опциона есть функция [pic]только
лишь от цен S(t) и D(t). Допуская также нужную гладкость, имеем с
точностью до порядка dt
[pic] (2)
Теперь попытаемся так выбрать портфель I(t), чтобы его цена
воспроизводила цену опциона. Для этого должны совпадать начальные
капиталы: I(0)=[pic]и совпадать приращения капиталов, определяемые
формулами (1) и (2). Получаем систему уравнений
[pic]
(3)
Система (3) окажется совместной, если постулировать выполнение
соотношения
[pic]
(4)
Это уравнение есть частный случай уравнения Блэка-Шоулса, отвечающий
значениям параметров r=0 ,?=1. Поэтому его решение (с граничным условием
[pic]можно записать в виде
[pic]
(5)
где [pic]обозначает нормальную меру со средним a и дисперсией d. В
частности, для опциона-колл с функцией [pic]получаем (вычисляя интеграл)
следующую явную форму решения: полагая [pic] имеем [pic] Используя далее
тождество [pic] вычисляем состав хеджирующего портфеля:
[pic]
(6)
При экспериментальной проверке применимости хеджирования по Вовку-
Шейферу необходимо имитировать динамику цен актива D(t). Сделаем
следующее. В момент времени t=0 в качестве имитации D(0) возьмем сумму
дивидендов, выплаченных в моменты времени 0, (-h) ,(-2h),.,(-T+h).
(Естественно рассчитывать, что в будущие моменты времени будет выплачено
примерно столько же дивидендов, сколько в то же самое число прошлых
моментов времени.) Оценку квадрата волатильности (2 в формуле Блэка-
Шоулса возьмем как средний дивиденд из выплаченных за указанные прошлые
моменты времени. Тогда цены Блэка-Шоулса и Вовка-Шейфера в точности
совпадут. Дальше будем сравнивать дисбалансы при хеджировании обоими
способами. В качестве имитации цены D(t) в момент t будем брать средний
дивиденд, выплаченный в T прошлых моментов времени, начиная с t (т.е. в
моменты t,t-h,.,t-T+h), умноженный на число оставшихся моментов времени
(T-t)/h. Значительный научный интерес представляет исследование
дисбалансов хеджирования по Вовку-Шейферу на данных о динамике цен акций
во время кризиса.
Сам сценарий хеджирования по Вовку-Шейферу можно представлять,
например, следующим образом. Хеджирование производит специальный
сотрудник банка, задача которого состоит в том, чтобы возможно точнее
поддерживать равенство между хеджфондом I(t) и ценой Вовка-Шейфера [pic]
В начальный момент t=0, по определению, покупатель опциона вносит в
хеджфонд начальную цену, т.е. автоматически [pic]В моменты времени
t=0,h,.,T-h сотрудник фонда делает следующее. Он занимает у родного банка
портфель из [pic]единиц актива S и ((t) единиц актива D с обязательством
вернуть стоимость этого портфеля в следующий момент. А в этот следующий
момент t+h сотрудник продает портфель по его цене в момент t+h,
возвращает банку цену портфеля в момент t, а разницу прибавляет к
хеджфонду. (А затем снова занимает портфель состава ?(t+h), ?(t+h).)
Таким образом, капитал хеджфонда I(t) эволюционирует согласно уравнению
(1): он меняется только за счет движения рыночных цен (и выплаты
дивидендов), без притока капиталов из банка (занятые средства банк тут же
получает обратно). В этом смысле хеджирование является самофинансируемым.
Таким образом, теоретически можно осуществить хеджирование, начиная с
капитала [pic]Спрашивается, почему нельзя хеджировать за меньшую цену?
Ответ дается в теории верхних и нижних цен Вовка-Шейфера. Опуская
подробности, можно сказать, что дело сводится вот к чему. Верхняя цена
опциона (как доказано) не больше, чем I(0), причем эта оценка является
линейным функционалом от функции выплат. Однако нижняя цена обязательства
равна минус верхней цене от минус обязательства, т.е. в силу линейности,
не может быть меньше I(0). Стало быть, I(0) и есть настоящая цена
опциона.
Добавим еще, что в диффузионном приближении дисбаланс хеджирования по
Вовку-Шейферу тождественно равен нулю. (Равенство [pic]является точным в
порядке величин dt.)