Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://new.math.msu.su/department/probab/slup/tsp-2013.doc Дата изменения: Tue Jun 11 10:48:29 2013 Дата индексирования: Sun Apr 10 01:13:09 2016 Кодировка: koi8-r

ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Лектор: профессор Булинский А.В.
Статус курса: основной
Предназначен для студентов 3 курса, 6 семестр
Продолжительность: полгода (весна)
Форма отчетности: зачет, экзамен
Программа на 2012/2013 учебный год.


1. Примеры случайных процессов, основанные на семействах независимых
случайных элементов. Теорема Ломницкого-Улама (без доказательства).
Случайные блуждания, процесс восстановления, модель Крамера-Лундберга.
Случайное поле. Перколяция.

2. Ветвящиеся процессы Гальтона-Ватсона. Нахождение вероятности вырождения.

3. Пуассоновский процесс N={N(t), t™0} интенсивности ? как процесс
восстановления. Лемма о величине «перескока» за фиксированный уровень.
Доказательство того, что процесс N имеет независимые приращения. Проверка
того, что N(t)-N(s) есть пуассоновская величина с параметром ?(t-s), где
t ™s.

4. Явная конструкция точечного пуассоновского процесса с мерой
интенсивности ?.

5. Свойства траекторий пуассоновского процесса. Построение модификации
этого процесса с неубывающими cЮdlЮg траекториями.

6. Фильтрация. Марковские моменты. Примеры.

7. Процессы со стационарными независимыми приращениями. Вывод строго
марковского свойства для таких процессов.

8. Доказательство того, что cЮdlЮg-модификацию пуассоновского процесса
интенсивности ?? 0 (с неубывающими траекториями) можно рассматривать
как процесс восстановления, построенный по независимым случайным величинам,
экспоненциально распределенным с параметром ? .

9. Функционал Лапласа точечного процесса. Функционал Лапласа точечного
пуассоновского процесса с мерой интенсивности ?.

10. Маркированный точечный пуассоновский процесс. Применение к системе
массового обслуживания.

11. Конструкция (непрерывного) броуновского движения по функциям Шаудера и
последовательности независимых гауссовских величин:
а) построение на [0,1]; б) построение на [0,?).

12. Теорема Пэли - Винера - Зигмунда (недифференцируемость с вероятностью
1 траекторий броуновского движения в каждой точке t ™0).

13. Конечномерные распределения процесса. Формулировка теоремы Колмогорова
о согласованных распределениях (доказательство необходимости условий).
Условия согласованности мер на пространствах (Rn, B(Rn)) в терминах
характеристических функций.

14. Гауссовские процессы. Построение действительного гауссовского процесса,
имеющего заданные функцию среднего и ковариационную функцию. Винеровский
процесс как гауссовский процесс.

15. Процессы с независимыми приращениями. Критерий существования процесса с
независимыми приращениями в терминах характеристических функций приращений.
Пуассоновский (с локально конечной мерой интенсивности) и винеровский
процессы как процессы с независимыми приращениями.

16. Принцип отражения для винеровского процесса. Лемма о совместном
распределении supt?[0,T]w(t) и w(T), где w(.) - винеровский процесс.
Теорема Башелье (нахождение распределения supt?[0,T]w(t)). Формулировка
закона повторного логарифма.

17. Марковские процессы с дискретным и непрерывным временем (случай, когда
фазовые пространства являются борелевскими). Доказательство того, что
действительный процесс с независимыми приращениями является марковским.

18. Свойства переходных вероятностей. Построение марковской цепи, имеющей
заданные начальное распределение и переходные вероятности.

19. Пуассоновский процесс как цепь Маркова. Однородные марковские
процессы.

20. Стандартные марковские цепи. Теорема о дифференцируемости в нуле
(справа) переходных вероятностей однородной стандартной марковской цепи.

21. Построение стохастической полугруппы по конечной (инфинитезимальной)
матрице, обладающей определенными свойствами.

22. Вывод прямой и обратной системы Колмогорова для консервативных цепей
Маркова с конечным числом состояний.

23. Эргодическая теорема для цепей Маркова с непрерывным временем.

24. Системы массового обслуживания (описание модели). Формулы Эрланга.

25. Стационарное распределение и его свойства. Определение стационарного (в
узком смысле) процесса. Построение стационарной марковской цепи при наличии
стационарного распределения.

26. Условное математическое ожидание, его свойства (без доказательств).
Мартингалы, субмартингалы, супермартингалы. Примеры.

27. Разложение Дуба.

28. Дискретный вариант формулы Танаки. Равномерная интегрируемость
семейства случайных величин. Доказательство соотношения ELn(0)~(2n/?)1/2,
n>? (Ln(0) - локальное время в нуле для симметричного случайного
блуждания).

29. Теорема Дуба об остановке. Следствие, обеспечивающее равенство
EX(?)=EX(0), где ? - марковский момент такой, что EX(min{?,n}) ? С для
некоторого С?0 и всех натуральных n.

30. Первое тождество Вальда.

31. Классическая задача о разорении игрока.

32. Интеграл по ортогональной случайной мере (cлучаи конечной и ?-конечной
структурной меры).

33. Теорема Карунена.

34. Формулировка теоремы Герглотца. Стационарные в широком смысле процессы,
их спектральное представление.

35. Интеграл Ито и его свойства. Формула Ито (без доказательства).

36. Понятие о стохастических дифференциальных уравнениях и сильных
решениях.

ЛИТЕРАТУРА

[1] А.В.Булинский, А.Н.Ширяев . Теория случайных процессов. М.: Физматлит,
2005.
[2] А.Н. Ширяев. Вероятность. Т. 1,2. М.: МЦНМО, 2005 (третье
издание).