Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://new.math.msu.su/department/probab/tsp-prob-09.doc Дата изменения: Fri Jul 26 12:37:02 2013 Дата индексирования: Sun Apr 10 00:28:03 2016 Кодировка: koi8-r

Механико-математический факультет МГУ имени М.В.Ломоносова,
кафедра теории вероятностей

Контрольные и зачетные задачи по теории случайных процессов
Составитель - профессор А.В.Булинский, 2009

КОНТРОЛЬНЫЕ

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 1

1. Пусть [pic] где случайная величина [pic], c=const. Найти конечномерные
распределения процесса [pic].
2. Найти ковариационную функцию пуассоновского процесса интенсивности
[pic].
3. Пусть [pic] где [pic]имеет распределение Коши. Вычислить [pic] хотя бы
для одного [pic]
4. Пусть [pic] где [pic]- векторнозначный процесс, составленный из
независимых винеровских процессов. Доказать, что с вероятностью
единица процесс [pic] выйдет из шара произвольного радиуса [pic]
5. Пусть [pic]- мартингал, [pic]- момент остановки относительно
естественной фильтрации процесса [pic]. Доказать, что величина [pic]
является [pic]-измеримой.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 2

1. Показать, что процесс [pic] где [pic]- винеровский процесс и константа
[pic], является винеровским.
2. Привести примеры марковского и немарковского процесса.
3. Найти спектральную плотность процесса [pic], где величины
[pic]независимы и одинаково распределены с математическим ожиданием 0
и дисперсией 1.
4. Объяснить, почему для гауссовских процессов понятия стационарности в
узком и широком смыслах совпадают.
5. Вычислить интеграл Стратоновича [pic] где [pic]- винеровский процесс
(в отличие от интеграла Ито, при составлении интегральных сумм
значения подинтегральной функции берутся в середине каждого отрезка
разбиения).

ЗАЧЕТНЫЕ ЗАДАЧИ

ПРИМЕРЫ ПРОЦЕССОВ, КОНЕЧНОМЕРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ,
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ ТРАЕКТОРИЙ

1. Как выглядят траектории процесса [pic] если величина [pic]принимает
значения 1 и [pic] с равными вероятностями? Найти двумерные
распределения процесса.
2. Пусть распределение числа потомков каждой частицы таково: [pic]
Будет ли меньше [pic] вероятность вырождения процесса Гальтона-
Ватсона?
3. Привести пример эквивалентных процессов [pic] и[pic], а также
множества [pic]в пространстве траекторий, так, чтобы [pic]
4. Верно ли, что если у процессов [pic]и [pic]совпадают конечномерные
распределения, то процесс [pic]является модификацией процесса[pic]?
5. Введем процесс [pic], где [pic]независимые [pic]величины, [pic] Найти
конечномерные распределения процесса [pic]и его ковариационную
функцию.
6. Пусть [pic] действительный случайный процесс. Объяснить, почему
множество [pic] где [pic] - константа, вообще говоря, необязательно
является событием.

ПРОЦЕССЫ С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ,
ГАУССОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ

7. Пусть [pic] процесс с независимыми приращениями, [pic] ([pic])
-детерминированная функция. Верно ли, что процессы [pic]и[pic] имеют
независимые приращения?
8. Пусть [pic] ковариационные функции, заданные на R, [pic]полином от
[pic]переменных, имеющий положительные коэффициенты. Доказать, что
[pic]ковариационная функция некоторого гауссовского процесса.
9. Доказать, что [pic]по вероятности, когда [pic], здесь [pic] -
винеровский процесс.
10. Пусть [pic]пуассоновский процесс интенсивности [pic]. Доказать, что
[pic]п.н. при [pic].
11. Пусть [pic]пуассоновский процесс интенсивности [pic]. Положим [pic]
Найти ковариационную функцию процесса [pic].
12. Пусть ((n)n(1 - последовательность независимых случайных величин, не
зависящая от пуассоновского процесса[pic] интенсивности [pic].
Доказать, что процесс [pic] является процессом с независимыми
приращениями.
13. Доказать, что процесс [pic] где [pic] - винеровский процесс и
константа [pic], также является винеровским.
14. Найти ковариационную функцию броуновского моста, т.е. процесса [pic]
где [pic]- винеровский процесс.

СЛАБАЯ СХОДИМОСТЬ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕР

15. Пусть [pic] меры Дирака на метрическом пространстве [pic],
снабженном борелевской [pic]-алгеброй. Доказать, что эти меры имеют
слабый предел в том и только в том случае, когда найдется точка
[pic]такая, что[pic] при [pic].
16. Построить пример случайных процессов Xn={Xn(t),t([0,1]} с
траекториями из пространства C[0,1] таких, что существуют слабые пределы
у всех конечномерных распределений этих процессов, но Xn не сходятся по
распределению в C[0,1].

МАРКОВСКИЕ МОМЕНТЫ, МАРТИНГАЛЫ

17. Пусть (1, (2. - марковские моменты. Доказать, что mink=1,.,n(k,
maxk=1,.,n(k, mink(N(k, maxk(N(k - марковские моменты.
18. Пусть X1,X2,. - последовательность случайных векторов со
значениями в Rm, B - борелевское множество в Rm. Показать, что (=inf{n:
Xn(B} является марковским моментом относительно естественной фильтрации
этой последовательности. Найти распределение величины X(, когда (Xn)n(1
состоит из независимых одинаково распределенных векторов.
19. Пусть W - винеровский процесс, (a:= inf{t(0: W(t)=a}, где a -
константа. Доказать, что (a - момент остановки (т.е. конечный п.н.
марковский момент) относительно
естественной фильтрации W.
20. Пусть ( и ( - марковские моменты относительно фильтрации (Fn)n(0.
Определим F( = {A(F: A({((n}(Fn}, n(0. Аналогично вводится F(. Доказать,
что F( является (-алгеброй, причем F( (F(, если (((.
21. Найти все a,b(R такие, что процесс X={X(t):=exp(aW(t) + bt),t(0}
является мартингалом относительно естественной фильтрации винеровского
процесса W.
22. Пусть X=(Xn)n(0 - мартингал. Привести примеры марковских моментов
( и ( таких, что EX(=EX0, EX((EX0.

МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ

23. Пусть ((n)n(1 - последовательность, состоящая из независимых
случайных векторов со значениями в Rm, hn: Rk( Rm ( Rk - детерминированные
борелевские функции (n(1) и X0 - случайный вектор со значениями в Rk.
Положим Xn =hn(Xn-1,(n), n(1. Показать, что (Xn)n(0 - цепь Маркова.
24. Пусть величины X1,.,XN образуют цепь Маркова. Показать, что
(Yk)1(k(N - цепь Маркова, где Yk = XN-k, k=1,.,N.
25. Пусть Y={Y(n)=X(n), n= 0,1,.} - марковский процесс. Будет ли
марковским процесс X={X(t) = Y([t]), t(0}, где [(] - целая часть числа?
26. Пусть дана марковская цепь Xn, n(0, имеющая переходную матрицу
вероятностей за один шаг
[pic]

где 0<(<1. Найти стационарное распределение.
27. Пусть h: R(R - взаимно однозначное отображение. Показать, что
Y={Y(t)=h(X(t)), t(0} является марковским процессом, если X={X(t), t(0} -
марковский процесс. Построить пример, показывающий, что без предположения о
взаимной однозначности отображения h утверждение не обязано выполняться.
28. Пусть X={X(t), t(0} - процесс чистого размножения, т.е.
pi,i+1(t)=(it + o(t) и pi,i(t)=1-(it +o(t) при t(0+. Доказать, что [pic]
для каждого t в том и только том случае, когда [pic].

СТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ

29. Показать, что стационарный в широком смысле процесс X={X(t),t(R}
непрерывен в среднем квадратическом на R тогда и только тогда, когда его
ковариационная функция непрерывна в нуле.
30. Пусть X=(Xn)n(Z - последовательность, состоящая из независимых
случайных величин со средним 0 и дисперсией (2. Найти спектральное
представление этой последовательности.
31. Найти спектральную плотность процесса Xn = (1/4)Xn-1 +(1/2)Xn-
3+(n, n(Z, где величины (n, n(Z, независимы и одинаково распределены с
математическим ожиданием 0 и дисперсией 1.
32. Пусть X=(Xn)n(Z - стационарный в широком смысле процесс со
средним a и ковариационной функцией R=R(n), n(Z. Доказать, что [pic] в
среднем квадратическом при n(( тогда и только тогда, когда [pic], n((.
33. Пусть X={X(t) = e-(t W(e2(t), t(R}, где W - винеровский процесс,
константа (>0. Доказать, что X - стационарный гауссовский процесс и найти
его спектральную плотность.

ЭЛЕМЕНТЫ СТОХАСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

34. Пусть f(t) - непрерывная детерминированная функция на [0,+().
Доказать, что X={X(t)=[pic]} - гауссовский процесс (W - винеровский
процесс).
35. Вычислить интеграл Ито [pic], где W - винеровский процесс.
36. Решить стохастическое дифференциальное уравнение dXt=aX(t)dt
+bX(t)dWt, где W={Wt, t(0} - винеровский процесс, a,b - константы, а
X(0)=X0.