Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://new.math.msu.su/content_root/programs/kaf/special/visshgeom/difgeom-tr.doc Дата изменения: Mon Nov 10 08:54:28 2008 Дата индексирования: Sun Apr 10 03:31:44 2016 Кодировка: koi8-r

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ТОПОЛОГИЯ

проф. Е.В. Троицкий
1/2 года, 3 курс
- Метрическое пространство, открытые и замкнутые множества и их свойства.
- Топологические пространства, внутренность, замыкание. Непрерывное
отображение.
- Гомеоморфизм. Декартово произведение.
- Связность и линейная связность. Связь между этими понятиями.
- Хаусдорфовость. Нормальность. Лемма Урысона. Формулировка теоремы Титце
о продолжении. Разбиение единицы.
- Компактность. Компактное хаусдорфово пространство нормально.
- Гладкое многообразие, гладкое отображение, диффеоморфизм. Существование
атласа с картами, диффеоморфными шару [pic].
- Существование гладкого разбиения единицы.
- Поверхность уровня как многообразие.
- Три определения касательного вектора, эквивалентность первых двух.
- Касательное отображение, регулярное значение. Прообраз регулярного
значения.
- Погружение, вложение, вложение в сильном смысле, подмногообразие.
Теорема о связи образа вложения и подмногообразия. Формулировка леммы
Сарда.
- Слабая теорема Уитни.
- Касательное расслоение.
- Понятие ориентированного многообразия с краем. Край. Ориентация края
гладкого ориентированного многообразия.
- Риманова метрика, тензорный подход, существование. Прообраз,
индуцированная метрика.
- Тензоры, сумма, произведение, свертка, альтернирование и
симметрирование тензоров.
- Тензорные поля и полилинейные отображения.
- Поднятие и опускание индексов у тензора.
- Теорема о представлении тензора в виде суммы тензорных произведений
простейших тензоров.
- Дифференциальные формы и алгебраические операции над ними.
- Представление дифференциальных форм в локальных координатах.
- Ковариантный градиент векторного поля в евклидовом пространстве. Закон
изменения коэффициентов связности при замене координат.
- Ковариантный градиент тензорных полей произвольной валентности в
евклидовом пространстве.
- Аффинная связность. Ее свойства и характеризация ими.
- Симметрическая связность, ассоциированная с римановой метрикой.
- Формулы ковариантной производной по направлению и вдоль кривой.
- Операция параллельного перенесения. Геометрическая интерпретация
ковариантной производной. Связность на поверхности в евклидовом
пространстве.
- Сохранение длины и угла между векторами при параллельном перенесении.
- Геодезические. Существование и единственность при заданных начальных
условиях.
- Экспоненциальное отображение. Теорема о существовании окрестности с
условием единственности "короткой" геодезической.
- Тензор кривизны Римана.
- Свойства симметрии и косой симметрии тензора кривизны.
- Формулы для компонент тензора кривизны римановой связности.
- Тензор Риччи и скалярная кривизна. Связь с гауссовой кривизной
поверхности.
- Геометрический смысл компонент тензора Римана.
- Теорема о независимости параллельного перенесения от кривой среди
гомотопных при нулевом тензоре кривизны.
- Внешний дифференциал и его свойства.
- Понятие когомологий гладкого многообразия. Прообраз дифференциальной
формы при гладком отображении. Связь с гомотопиями.
- Понятие интеграла дифференциальной формы по ориентированному
многообразию. Независимость интеграла от выбора локальной системы
координат.
- Общая формула Стокса.
- Объем риманова ориентированного компактного многообразия.


Литература

1. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. М.,
Наука, 1979.
2. Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии.
М., изд-во МГУ, 1980.
3. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М., Наука, 1967.
4. Хирш М. Дифференциальная топология. М., Мир, 1979.