Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://new.math.msu.su/content_root/programs/kaf/special/visshgeom/angeom-tr.doc Дата изменения: Mon Nov 10 08:54:27 2008 Дата индексирования: Sun Apr 10 03:29:40 2016 Кодировка: koi8-r

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
проф. Е.В. Троицкий
Ѕ года, 1 курс
- Закрепленные и свободные вектора. Коллинеарность и компланарность.
- Линейные операции, линейные комбинации и линейная зависимость векторов.
Необходимое и достаточное условие линейной зависимости.
- Условия линейной зависимости векторов на плоскости и в пространстве
Базис. Разложение по базису. Координаты вектора. Аффинная система координат
и координаты точки. Ортонормированный базис и прямоугольная система
координат.
- Деление отрезка в данном отношении.
- Скалярное произведение и его свойства.
- Ориентированная площадь параллелограмма относительно базиса и ее
свойства, ориентация пары и ее геометрический смысл. Ориентированный объем
параллелепипеда относительно ортонормированного базиса, ориентация тройки.
Лемма о непрерывной зависимости коэффициентов при вращении и растяжении.
- Необходимое и достаточное условие положительной ориентации одного
базиса пространства относительно другого, связанное с деформацией.
Геометрическое следствие.
- Задание ориентации. Ориентированный объем в ориентированном
пространстве. Векторное и смешанное произведение, связь с ориентированным
объемом в ориентированном пространстве и свойства.
- Векторное и смешанное произведение в прямоугольных координатах. Связь
ориентированного объема относительно базиса с ориентированным объемом в
ориентированном пространстве.
- Формула двойного векторного произведения и тождество Якоби.
- Прямая на плоскости. Параметрические уравнения. Прямая как кривая
первого порядка. Необходимое и достаточное условие задания одной прямой в
фиксированной системе координат двумя уравнениями. Нахождение векторов,
параллельных прямой. Взаимное расположение двух прямых.
- Полуплоскости, связанные с линейным уравнением.
- Пучок прямых на плоскости. Условие принадлежности прямой пучку.
- Нормальный вектор и расстояние от точки до прямой в прямоугольных
координатах. Нормальное уравнение, отклонение.
- Угол между прямыми на плоскости, связь с полуплоскостями.
- Параметрические и общее уравнения плоскости. Полуплоскости. Условие
параллельности вектора плоскости. Условия взаимного расположения.
- Пучок плоскостей. Условие принадлежности плоскости пучку.
- Связка плоскостей. Условие принадлежности плоскости связке.
- Нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.
- Параметрические и канонические уравнения прямой в пространстве. Прямая
как пересечение двух плоскостей, формула для направляющего вектора.
- Четыре формулы для прямых в пространстве в прямоугольной системе
координат.
- Замены координат, матрица перехода. Формулы замены координат.
Координаты векторов. Композиции замен.- Прямоугольные системы координат и
ортогональные матрицы. Их свойства. Двумерные ортогональные матрицы.
- Углы Эйлера и трехмерные специальные ортогональные матрицы.
- Полярные, сферические и цилиндрические координаты.
- Геометрическое определение эллипса, гиперболы и параболы.
- Эллипс, гипербола и парабола как конические сечения.
- Оптические (фокальные) свойства коник.
- Аналитические определения коник.
- Директориальные свойства коник. Фокальный параметр. Полярные уравнения
коник.
- Канонические уравнения кривых второго порядка. Квадрики. Теорема о
приведении к каноническому виду.
- Инварианты многочлена второй степени. Определение типа квадрик.
- Семиинвариант. Единственность канонического уравнения и его нахождение.
- Распадающиеся кривые.
- Теоремы единственности для кривых второго порядка.
- Теорема Паскаля. "Построение" кривой второго порядка по пяти заданным
точкам.
- Пересечение кривой второго порядка с прямой. Асимптотические
направления. Инвариантность определения.
- Пересечение прямых асимптотического и неасимптотического направления с
кривой. Типы кривых, связанные с наличием асимптотических направлений.
- Диаметр, сопряженный неасимптотическому направлению. Диаметры параболы.
- Центр и его уравнения. Наличие центров: условия. Взаимное расположение
центров и диаметров.
- Взаимно сопряженные диаметры и направления. Диаметры кривой с
единственным центром.
- Главные диаметры и оси симметрии. Связь с собственными векторами.
- Нахождение вида и расположения кривых второго порядка.
- Касательные к кривым второго порядка.
- Поляра точки относительно коники. Связь с касательными. Независимость
от системы координат.
- Теорема о связи поляры с двумя секущими. Двойственность. Теорема
Брианшона.
- Аффинные преобразования плоскости и пространства. Их запись в
координатах. Независимость определения от выбора системы координат.
Действие на векторы. Геометрические свойства.
- Изометрические преобразования плоскости и пространства. Их свойства и
различные определения. Теорема Шаля.
- Лемма о собственном векторе трехмерной матрицы. Теорема о
геометрических видах изометрий пространства.
- Метрическая классификация существенных квадрик на плоскости. Сильная
метрическая классификация.
- Аффинная классификация существенных квадрик на плоскости. Сильная
аффинная классификация квадрик. Метод Лагранжа.
- Поверхности второго порядка: определение и теорема о приведении к
каноническому виду.
- Единственность канонического уравнения поверхности.
- Эллипсоид. Его сечения. Гиперболоиды и их свойства. Прямолинейные
образующие однополостного гиперболоида.
- Асимптотические направления поверхности. Инвариантность определения.
Связь с прямолинейными образующими.
- Параболоиды и их свойства. Прямолинейные образующие гиперболического
параболоида.
- Конус. Коническая поверхность над кривой. Коническая поверхность над
эллипсом. Цилиндры и их образующие.
- Пересечение прямых асимптотического и неасимптотического направления с
поверхностью второго порядка. Сопряженная диаметральная плоскость. Главные
направления, нахождение их методом собственных векторов, сопряженная
плоскость как плоскость симметрии (без доказательства).
- Уравнения центра поверхности. Центральные поверхности. Главные
направления, нахождение их методом собственных векторов, сопряженная
плоскость как плоскость симметрии (без доказательства).
- Касательная прямая и касательная плоскость к поверхности второго
порядка. Связь последней с прямолинейными образующими.
- Аффинная и метрическая классификация пространственных квадрик.
- Пополненная плоскость, связка прямых, перспективное соответствие,
однородные координаты.
- Принцип двойственности. Теорема Дезарга.
- Проективные преобразования. Фундаментальная четверка.
- Проективно-аффинные преобразования.
- Проективная прямая. Простое и двойное отношение. Инвариантность
последнего. Определение проективного преобразования по трем точкам.
- Кривые второго порядка на проективной плоскости и их классификация.


Литература

1. Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии. М., Наука, 1968.
2. Веселов А.П., Троицкий Е.В. Лекции по аналитической геометрии. М., изд-
во МГУ, 2002.
3. Постников М.М. Аналитическая геометрия. М., Наука, 1979.