Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://new.math.msu.su/content_root/programs/kaf/special/visshgeom/necomg.doc Дата изменения: Mon Nov 10 08:54:29 2008 Дата индексирования: Sun Apr 10 03:17:57 2016 Кодировка: koi8-r

НЕКОММУТАТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
доц. В.М. Мануйлов, проф. А.С. Мищенко, проф. Е.В. Троицкий
1. Элементы теории векторных расслоений и топологической [pic]теории.
1. Векторные расслоения.
2. Гомотопическая теория векторных расслоений.
3. [pic]группы.
4. Периодичность Ботта в [pic]теории.
5. Изоморфизм Тома.
6. Характеристические классы и характер Чженя.
7. Вычислительные методы [pic]теории.
2. Элементы теории операторных алгебр и модулей.
1. Элементы теории [pic]алгебр.
2. 1-я и 2-я теоремы Гельфанда-Наймарка. Формулировка спектральной
теоремы.
3. Основные классы и примеры [pic]алгебр (групповые [pic]алгебры локально
компактных групп, [pic]алгебры, алгебра Калкина, алгебры иррационального
вращения, алгебры Кунца, алгебры фон Неймана, факторы, ([pic]алгебры
слоения, [pic]алгебра группоидов, пространства с особенностями и их
[pic]алгебры).
4. Гильбертовы модули и операторы в них.
5. Теорема Каспарова о стабилизации.
6. Алгебры операторов в гильбертовых модулях. Мультипликаторы.
7. Теория гомотопий в категории [pic]алгебр.
8. Вычисление [pic]групп для основных классов [pic]алгебр.
3. Операторная [pic]теория.
1. Фредгольмовы представления и [pic]функтор Каспарова. Определение и
основные свойства.
2. Эквивалентность различных определений [pic]функтора (гомотопии и
операторные гомотопии).
3. Техническая теорема Каспарова. Произведение-пересечение.
4. Описание Кунца для [pic]теории.
5. Неточность [pic]функтора,. Контрпример Скандалиса.
6. Асимптотические гомоморфизмы [pic]алгебр. Пример матриц Войкулеску.
7. Определение [pic]теории Конна-Хигсона. Связь ее с [pic] и
[pic]теорией.
8. Точность и периодичность Ботта для [pic]теории.
4. Циклические (ко)гомологии.
1. Определение, основные свойства, бикомплексы.
2. (Ко)гомологии де Рама топологических алгебр. Связность на гильбертовом
модуле. Связь с классической дифференциальной геометрией.
3. Гомологии с внутренними симметриями.
4. Характер Чженя.
5. Эллиптические операторы и теоремы об индексе.
1. Струи, дифференциальные операторы.
2. Пространства Соболева, теоремы вложения.
3. Алгебра Сили, псевдодифференциальные операторы.
4. Изоморфизм Тома.
5. Аналитический и топологический индекс.
6. Аксиоматический подход.
7. Примеры: операторы Лапласа, Хирцебруха, Дирака.
8. Теорема об индексе.
9. [pic]теорема об индексе.
10. Изоморфизм Тома-Конна-Фака-Скандалиса. [pic]гомологическая теорема об
индексе.
11. Алгебраическая теорема об индексе.
6. Приложения некоммутативной геометрии к задачам топологии и геометрии.
1. Фундаментальная группа и инварианты многообразий, связанные с
фундаментальной группой. Алгебраические комплексы Пуанкаре.
2. Высшие сигнатуры. Каноническое расслоение Мищенко как элемент
[pic]группы. Гипотеза Новикова.
3. Аменабельные и гиперболические группы.
4. Теорема Конна-Московичи.
5. Кривизна и гипотеза Громова-Лоусона-Розенберга.
6. Гипотеза Баума-Конна.
7. [pic]аменабельность и другие свойства.
8. Структура орбит и модули.
9. Некоммутативный гармонический анализ и числа Раидемайстера.
10. Расширения [pic]алгебр. Теорема Брауна-Дагласа-Филлмора.
11. Классификация расширений [pic]алгебр.

Литература
1. Атья М. Лекции по [pic]теории. М., Мир, 1967.
2. Каруби М. [pic]теория. М., Мир, 1981.
3. Мануйлов В.М., Троицкий Е.В. [pic]гильбертовы модули. М., Факториал,
2001.
4. Мищенко А.С. Векторные расслоения и их применения. М., Мир, 1984.
5. Соловьев Ю.П., Троицкий Е.В. [pic]алгебры и эллиптические операторы в
дифференциальной топологии. М., Факториал, 1996.
6. Хьюзмоллер Д. Расслоенные пространства. М., Мир, 1970.
7. Loday J.-L. Cyclic homology. Springer, Berlin, 1992.
8. Connes A. Noncommutative Geometry. Academic Press, 1994.
9. Karoubi M. Homologie cychque et [pic]thИorie. AstИrisque ? 149, 1987.
10. Jensen, Thomsen K. Elements of [pic]theory.