Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://new.math.msu.su/content_root/programs/kaf/special/terver/1terslpr2-bul.doc Дата изменения: Mon Nov 10 08:54:44 2008 Дата индексирования: Sun Apr 10 03:31:09 2016 Кодировка: koi8-r

ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
проф. А.В. Булинский
1/2 года, 3 курс, отделение математики
1. Случайные элементы и их распределения. Случайный процесс как семейство
случайных элементов и как одно измеримое отображение.
2. Построение последовательности независимых действительных случайных
величин, имеющих заданные функции распределения.
3. Примеры случайных процессов (случайные блуждания, процесс
восстановления, модель Крамера-Лундберга, эмпирические меры, пуассоновская
случайная мера).
4. Конечномерные распределения процесса. Формулировка теоремы Колмогорова
о согласованных распределениях (доказательство необходимости условий).
Условия согласованности мер на пространствах [pic] в терминах
характеристических функций.
5. Критерий существования процесса с независимыми приращениями в терминах
характеристических функций приращений. Пуассоновский и винеровский
процессы.
6. Гауссовские процессы. Построение действительного гауссовского
процесса, имеющего заданные функцию среднего и ковариационную функцию.
7. Построение броуновского движения по функциям Шаудера и
последовательности независимых гауссовских величин: а) две леммы; б)
построение на [0,1]; в) построение на [0,(].
8. Недифференцируемость (с вероятностью 1) траекторий броуновского
движения в каждой точке [pic].
9. Фильтрация. Марковские моменты, момент остановки. Примеры.
10. Марковское и строго марковское свойства броуновского движения.
11. Принцип отражения. Распределение [pic]. Формулировка закона
повторного логарифма.
12. Слабая сходимость вероятностных мер. Теорема А.Д. Александрова.
13. Сохранение слабой сходимости под действием непрерывных отображений.
Формулировка теоремы Прохорова о плотности семейства мер. Принцип
инвариантности (формулировки теорем Донскера, Прохорова, Боровкова,
Скорохода). Формулировка теоремы Штрассена.
14. Мартингалы, субмартингалы, супермартингалы. Примеры. Разложение Дуба.
15. Дискретный вариант формулы Танака. Доказательство соотношения [pic],
[pic].
16. Теорема Дуба о свободном выборе.
17. Неравенство Крамера-Лундберга.
18. Марковские процессы с дискретным и непрерывным временем. Примеры.
19. Доказательство того, что действительный процесс с независимыми
приращениями является марковским.
20. Построение марковской цепи по начальному распределению и переходным
вероятностям. Пуассоновский процесс как цепь Маркова.
21. Марковская переходная функция. Однородные марковские процессы.
22. Эргодическая теорема для цепей Маркова с непрерывным временем.
23. Стационарное распределение. Формулы Эрланга (описание модели).
24. Дифференциальные уравнения Колмогорова (прямые и обратные).
25. Интеграл по ортогональной случайной мере (cлучаи конечной и (-
конечной структурной меры).
26. Теорема Карунена.
27. Теорема Герглотца. Формулировка теоремы Бохнера-Хинчина.
28. Стационарные в широком смысле процессы, их спектральное
представление. Эргодичность в L2(().
29. Спектральная плотность. Процесс скользящего среднего как процесс,
обладающий спектральной плотностью.
30. Регулярные и сингулярные процессы. Формулировка теоремы Вольда и
теоремы Колмогорова (критерий регулярности в терминах спектральной
плотности).
31. Уравнение Ланжевена. Процесс Орнштейна-Уленбека.
32. Интеграл Ито и его свойства.
33. Понятие о стохастических дифференциальных уравнениях и сильных
решениях.
33. Формула Ито (без доказательства) и пример ее использования.


Литература

1. Афанасьева Л.Г., Булинская Е.В. Случайные процессы в теории массового
обслуживания и управления запасами. М., изд-во МГУ, 1987.
2. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. М., Наука, 1972.
3.* Бриллинджер Д. Анализ временных рядов. М., Мир, 1979.
4. Вентцель А.Д. Курс лекций по случайным процессам. М., Наука, 1982.
5.* Вентцель Е.С., Овчаров А.В. Прикладные задачи теории случайных
процессов. М., Наука, 1992.
6. Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов. М.,
Наука, 1972.
7. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания.
М., Наука, 1989.
8.* Дынкин Е.Б. Марковские процессы. М., Наука, 1965.
9.* Дынкин Е.Б., Юшкевич А.П. Теоремы и задачи о процессах Маркова. М.,
Наука, 1968.
10.* Дуб Дж. Вероятностные процессы. М., Физматгиз, 1953.
11.* Ито К. Вероятностные процессы. М., Наука, 1962.
12. Климов Г.П. Теория вероятностей и математическая статистика. М., изд-во
МГУ, 1981.
13.* Козлов М.В. Элементы теории вероятностей в задачах и примерах. М.,
изд-во МГУ, 1991.
14. Крамер Г., Лидбеттер Дж. Стационарные случайные процессы. М., Мир,
1970.
15. Крылов Н.В. Лекции по случайным процессам (части 1 и 2). М., изд-во
МГУ, 1987.
16.* Ламперти Дж. Случайные процессы. Киев, Вища школа, 1983.
17.* Прохоров А.В., Ушаков А.Ф., Ушаков В.А. Задачи по теории вероятностей.
М., Наука, 1989.
18. Розанов Ю.А. Теория вероятностей, математическая статистика и случайные
процессы. М., Наука, 1987.
19.* Розанов Ю.А. Стационарные случайные процессы. М., Наука, 1989 (второе
издание).
20. Тутубалин В.Н. Теория вероятностей и случайные процессы. М., изд-во
МГУ, 1992.
21. Ширяев А.Н. Вероятность. М., Наука, 1990 (второе издание).
22. Ширяев А.Н. Случайные процессы (лекции для студентов 3 курса). М., изд-
во МГУ, 1972.
23. Хида Т. Броуновское движение. М., Наука, 1988.
24. Булинский А.В., Ширяев А.Н. Теория случайных процессов. М., Физматлит,
2003.
Примечание: знаком * отмечена дополнительная литература.