Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://new.math.msu.su/content_root/programs/kaf/special/terver/1terslpr-bul.doc Дата изменения: Mon Nov 10 08:54:44 2008 Дата индексирования: Sun Apr 10 03:28:43 2016 Кодировка: koi8-r

ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
проф. Е.В. Булинская
1/2 года, 2 курс, отделение математики
1. Понятие случайного элемента со значениями в измеримом пространстве.
Распределение случайного элемента.
2. [pic]алгебра [pic]. Два определения случайного процесса, их
эквивалентность.
3. Конечномерные распределения, условия симметрии и согласованности.
Траектории (выборочные функции) случайного процесса. Семейство
конечномерных распределений однозначно определяет меру любого борелевского
множества выборочного пространства [pic].
4. Теорема Колмогорова о существовании случайного процесса с заданным
семейством конечномерных распределений.
5. Гауссовские случайные процессы. Теорема о существовании гауссовского
процесса с заданным семейством конечномерных распределений.
6. Процессы с независимыми приращениями. Эквивалентность двух определений
винеровского процесса. Пуассоновский процесс.
7. Стационарность в узком и широком смысле, связь между ними.
8. Эквивалентность случайных процессов.
9. Различные понятия непрерывности случайных процессов, связь между ними.
10. Необходимые и достаточные условия существования эквивалентного
процесса с непрерывными траекториями.
11. Теорема Колмогорова (достаточное условие существования непрерывной
модификации).
12. Условие для гауссовского процесса.
13. Конструкция винеровского процесса в виде суммы ряда из гауссовских
случайных величин.
14. Понятие сепарабельности. Теорема о существовании эквивалентного
процесса с неубывающими траекториями.
15. Измеримость процесса. Теорема об измеримости непрерывного с
вероятностью 1 сепарабельного процесса. Измеримость винеровского процесса.
Интегрируемость траекторий.
16. Поток [pic]алгебр. Эквивалентные определения марковского процесса.
Семейства линейных операторов, связанных с переходной функцией.
17. Феллеровские марковские семейства. Теорема существования.
18. Диффузионные процессы. Обратное уравнение Колмогорова.
19. Диффузионные процессы. Прямое уравнение Колмогорова.
20. Необходимое и достаточное условий того, что функция [pic] является
корреляционной. Необходимые и достаточные условия сходимости в среднем
квадратичном.
21. Теоремы о непрерывности, дифференцируемости и интегрируемости
процессов в среднем квадратичном.
22. Теорема о дифференцируемости процесса с корреляционной функцией,
имеющей непрерывную вторую смешанную производную.
23. Случайные меры. Связь ортогональных случайных мер и процессов с
ортогональными приращениями, непрерывными в среднем квадратичном.
Структурная мера.
24. Стохастический интеграл по ортогональной случайной мере и его
свойства.
25. Спектральное разложение стационарного в широком смысле процесса (с
использованием теории унитарных операторов).
26. Теорема Бохнера-Хинчина.
27. Теорема о спектральном разложении стационарного в широком смысле
процесса.
28. Линейные преобразования стационарного в широком смысле процесса.
Импульсная переходная функция и частотная характеристика. Допустимый
фильтр, физически осуществимый фильтр.
29. Наилучший и наилучший линейный прогноз в среднем квадратичном; их
совпадение в гауссовском случае.
30. Понятие сингулярности и регулярности стационарной в широком смысле
последовательности. Теорема о разложении процесса на регулярную и
сингулярную составляющие.
31. Разложение Вольда. Наилучший линейный прогноз на [pic] шагов вперед.
32. Марковское и строго марковское свойство винеровского процесса.
33. Принцип отражения. Закон повторного логарифма для винеровского
процесса. Недифференцируемость траекторий.
34. Мартингалы, субмартингалы и супермартингалы. Преобразования,
сохраняющие субмартингальность.
35. Стохастический интеграл Ито и его свойства.
36. Формула замены переменных Ито.
37. Стохастические дифференциальные уравнения. Теорема существования и
единственности сильного решения.
38. Марковость решения стохастического дифференциального уравнения.
39. Решение стохастического дифференциального уравнения - диффузионный
процесс.