Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://new.math.msu.su/content_root/programs/kaf/special/teordinsys/vved-zac.doc Дата изменения: Mon Nov 10 08:54:56 2008 Дата индексирования: Sun Apr 10 03:28:32 2016 Кодировка: koi8-r

ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ОСОБЕННОСТЕЙ
проф. В.М. Закалюкин
1 год, 2-5 курс, аспиранты и слушатели ФПК
Приложения теории особенностей встречаются в различных областях
математики. Вот некоторые примеры. Численные результаты эксперимента обычно
представляются в виде графиков, выражающих зависимости между параметрами.
Качественные отличия одного графика от другого определяются положением
критических точек (точек максимума, минимума и т.д.). Например, трудно
узнать человека по фотопортрету, сделанному при сильном равномерном
освещении без характерных особенностей (морщин, складок, теней).
Солнечные блики на стенках бассейна образуют причудливое переплетение
кривых с особенностями (это - типичный пример особенностей каустик).
Похожие особенности встречаются при распространении разрывов и ударных
волн.
В математической экономике (при моделировании поведения отдельных
участников рынка на основе анализа интегральных показателей) возникают
системы уравнений с особенностями.
При медленном изменении внешних параметров некоторой системы можно
наблюдать скачкообразное изменение ее положения равновесия (катастрофу).
Такие особые значения параметров образуют бифуркационную диаграмму в
пространстве всех параметров.
Далеко идущие обобщения изучений критических точек функций, изучение
геометрии и топологии бифуркационных диаграмм и составляют предмет теории
особенностей, возникшей еще в работах Гюйгенса, Лагранжа, Пуанкаре. В
настоящее время эта теория представляет собой важную область математики,
находящуюся на стыке многих теоретических и прикладных дисциплин: теории
групп, алгебраической геометрии и топологии, комплексного анализа, оптики,
теории управления, механики и т.д.
Цель настоящего спецкурса - дать введение в основные методы локальной
теории особенностей и ее приложений в теории дифференциальных уравнений,
волновой теории, прикладной геометрии.
1 семестp.
Особенности гладких отображений.
1. Критические точки функций и отображений, теорема Уитни.
2. Пространства струй и ростков отображений. Теорема Сарда, теорема
трансверсальности Тома.
3. Действия групп диффеоморфизмов. Классификация особенностей. Примеры.
4. Гомотопический метод. Лемма Морса.
5.-6. Локальная алгебра особенности. Кратность отображения.
7.-8. Теорема деления. Подготовительная теорема Мальгранжа.
9.-10. Деформации особенностей. Теорема версальности. Бифуркационные
диаграммы.
11. Устойчивость, инфинитезимальная устойчивость, трансверсальность.
12-13. Версальные деформации простых особенностей функций и группы,
порожденые отражениями.
14-15. Расслоение Милнора. Исчезающие гомологии. Форма пересечений
исчезающих гомологий особенностей гиперповерхностей.
16-17. Особенности полных пеpесечений. Классификация. Расслоение Милноpа.
2 семестp.
Введение в симплектическую и контактную геометрии.
1-2. Векторные симплектические пространства. Теорема Дарбу.
3. Лагранжевы подмногообразия, производящие семейства, каустики и
волновые фронты.
4-5. Контактные многообразия, лежандровы подмногообразия, контактные
производящие семейства. Волновые фронты.
6-7. Лагранжевы подмногообразия в гамильтоновой механике и оптике.
Оптические перестройки. Экспоненциальное отображение в дифференциальной
геометрии.
8. Особенности решений уравнения Гамильтона-Якоби.
9-10. Примеры лагранжевых и лежандровых особенностей в дифференциальной
геометрии и оптике (фокальное множество, преобразование Лежандра).
11-12. Перестройки волновых фронтов и каустик, логарифмичеcкие векторные
поля. Свободные дивизоры. Примеры.
13-14. Приложения в гидpодинамике идеальной жидкости. Инваpианты
симплектомоpфизмов и контактомоpфизмов.
15-17. Начала симплектической топологии. Лагpанжевы и лежандpовы
хаpактеpисти-ческие классы. Сосуществование особенностей.

Литература
1. Арнольд В.И., Варченко А.Н., Гусейн-Заде С.М. Особенности
дифференцируемых отображений. Т. 1, 2. М., Наука, 1982, 1986.
2. Arnold V.I. Singularities of caustics and wavefronts.// Kluwer, 1990.
3. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М., Наука, изд
3., 1989.
4. Голубицкий М., Гийемин В. Устойчивые отображения и их особенности (пер.
с англ.). М., Мир, 1977.
5. McDuff D., Salomon D. Introduction to Symplectic Topology.// Cambridge
University Press, 1995.
6. Васильев В.A. Лаганжевы и лежандpовы хаpактеpистические классы. М.,
МЦНМО, 2000.