Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://new.math.msu.su/content_root/programs/kaf/special/matstat/dopgl-neish.doc Дата изменения: Mon Nov 10 08:55:20 2008 Дата индексирования: Sun Apr 10 03:28:12 2016 Кодировка: koi8-r

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ


И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

проф. А.И. Нейштадт, доц. М.В. Козлов
1 год, 3 курс (по выбору кафедры)

Часть I.

1. Характеристические функции. Примеры. Элементарные свойства.
Дифференцируемость и существование моментов. Разложение по формуле
Тейлора с оценкой остатка через абсолютный момент. Неравенство для
хвостов распределения.
2. Теорема единственности для характеристических функций.
3. Сходимость распределений вероятностей. Плотность. Слабая (weak) и
ослабленная (vague) сходимости. Относительная компактность. Теорема о
выборе.
4. Теорема непрерывности для характеристических функций.
5. Теорема Линдеберга-Феллера.
6. Теоремы единственности и непрерывности для моментов.
7. Безгранично-делимые распределения. Примеры. Свойства.
8. Формулы Леви-Хинчина-Колмогорова.
9. Слабая сходимость в схеме серий.
10. Теорема восстановления для случайных блужданий.
11. Преобразование Лапласа. Примеры. Теорема единственности и
непрерывности.
12. Правильно меняющиеся функции. Тауберовы теоремы.
13. Факторизация для характеристических функций.
14. Критерий возвратности и транзиентности для случайных блужданий.
15. Примеры факторизационных тождеств.
16. Законы арксинуса для случайных блужданий.
Часть II.
1. Одномерное нормальное распределение: плотность, характеристическая
функция, моменты, воспроизводящее свойство.
2. Распределение (2: плотность, характеристическая функция, моменты,
воспроизводящее свойство. Плотности t- и F-распределений.
3. Многомерное нормальное распределение с единичной матрицей
ковариаций: плотность, характеристическая функция, распределение проекций
и их длин.
4. Многомерное нормальное распределение (невырожденное или
вырожденное): плотность, характеристическая функция, воспроизводящее
свойство.
5. Условное распределение компонент нормального случайного вектора при
фиксированных остальных компонентах (в случаях невырожденного и
вырожденного распределений). Регрессия, множественный коэффициент
корреляции.
6. Распределение квадратичных форм от компонент нормального случайного
вектора с единичной ковариационной матрицей: теорема Фишера-Кохрена.
7. Распределение квадратичных форм от компонент нормального случайного
вектора с единичной ковариационной матрицей: необходимые и достаточные
условия (2-распре-деленности и независимости.
8. Распределение квадратичных форм от компонент нормального случайного
вектора: необходимые и достаточные условия (2-распределенности и
независимости, достаточные условия (2-распределенности.
9. Критерий согласия (2, теорема Неймана-Пирсона.
10. Критерий однородности (2.
11. Оценка параметров многомерного нормального распределения по методу
максимального правдоподобия. Независимость оценок вектора средних и
матрицы ковариаций.
12. Распределение Уишарта: определение, воспроизводящее свойство,
поведение при преобразованиях. Условия распределенности по Уишарту матриц
квадратичных форм нормальных случайных величин.
13. Распределение диагональных элементов обратной матрицы к матрице
Уишарта, распределение определителя матрицы Уишарта.
14. Статистика Хотеллинга T2: распределение, свойства в асимптотике
растущей размерности (асимптотике А.Н. Колмогорова).
15. Применение статистики Хотеллинга для проверки гипотезы о равенстве
математического ожидания нормальной совокупности заданному вектору, о
равенстве математических ожиданий двух нормальных совокупностей.
Расстояние Махаланобиса и его несмещённая оценка.
16. Плотность распределения Уишарта в случае единичной матрицы
ковариаций.
17. Плотность распределения Уишарта в случае произвольной матрицы
ковариаций. Характеристическая функция распределения Уишарта.
18. Распределение выборочного коэффициента корреляции нормальной
совокупности в предположении равенства нулю истинного коэффициента
корреляции. Проверка гипотезы о независимости признаков.
19. Асимптотическое распределение выборочного коэффициента корреляции
нормальной совокупности. Преобразование Фишера. Построение доверительного
интервала для коэффициента корреляции.
20. Дискриминантный анализ: постановка задачи, оптимальное правило
классификации, квадратичные и линейные дискриминантные функции.
21. Геометрическая интерпретация оптимального свойства линейной
дискриминантной функции в случае двух классов. Вероятность ошибочной
классификации в одну из двух нормальных совокупностей с равными
ковариационными матрицами в случае известных параметров совокупностей.
22. Вычисление в асимптотике А.Н. Колмогорова вероятности ошибочной
классификации в одну из двух нормальных совокупностей с равными
ковариационными матрицами в случае неизвестных параметров совокупностей.
23. Отбор информативных признаков в дискриминантном анализе. Смещение
оценки вероятности ошибочной классификации, возникающее из-за отбора.
Проверка правил классификации на "экзамене", "скользящий экзамен".