Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://new.math.msu.su/content_root/programs/kaf/special/matan/mat-him.DOC Дата изменения: Mon Nov 10 08:55:23 2008 Дата индексирования: Sun Apr 10 03:02:35 2016 Кодировка: koi8-r

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
проф. В.Г. Чирский, доц. Ю.Н. Макаров
химический факультет МГУ
1 курс, 1 семестр.
Аксиома отделимости. Верхние и нижние грани. Стягивающиеся отрезки.
Предельные точки.
Предел последовательности, предел функции. Бесконечно малые.
Арифметические свойства предела.
Предельный переход в неравенствах. Вычисление [pic].
Предел монотонной ограниченной функции. Число [pic].
Критерий Коши существования предела последовательности, предела функции.
Непрерывность. Точки разрыва. Свойства непрерывных функций.
Непрерывность элементарных функций. Сравнение функций. Вычисление
пределов
[pic], [pic], [pic].
Промежуточные значения непрерывной на отрезке функции. Ограниченность
непрерывной на отрезке функции. Равномерная непрерывность. Теорема Кантора.
Производная, её естественнонаучный смысл и основные свойства.
Дифференциал. Инвариантность формы первого дифференциала.
Производные и дифференциалы высших порядков.
Теоремы Ферма, Ролля. Необходимые условия экстремума функции. Теоремы
Лагранжа и Коши.
Формулы Тейлора с остаточными членами в форме Лагранжа, Пеано. Разложения
функций [pic], [pic], [pic], [pic], [pic].
Правила Лопиталя.
Монотонность функции. Достаточные условия экстремума. Выпуклость графика
функции.
2 семестр.
Первообразная. Неопределённый интеграл, его свойства. Интегрирование
рациональных функций. Интегрирование выражений, содержащих радикалы.
Интегрирование тригонометрических функций.
Определённый интеграл, его геометрический смысл. Необходимое условие
интегрируемости. Суммы Дарбу и их свойства. Критерий интегрируемости.
Интегрируемость непрерывных функций, монотонных функций.
Свойства интеграла. Теорема о среднем. Интеграл с переменным верхним
пределом. Формула Ньютона-Лейбница.
Площадь фигуры в прямоугольных и полярных координатах. Длина дуги. Объём
тела. Площадь поверхности вращения.
Несобственные интегралы. Исследование сходимости интегралов
[pic], [pic]; [pic].
Признаки сравнения. Абсолютная сходимость интегралов.
Частные производные. Дифференцируемость функции нескольких переменных.
Достаточное условие дифференцируемости. Производные сложной функции.
Инвариантность формы первого дифференциала. Смешанные производные.
Дифференциал n-го порядка.
Производная по направлению, градиент. Касательная плоскость и нормаль к
поверхности. Поверхность уровня.
Формула Тейлора для функции нескольких переменных.
Экстремум. Необходимое условие экстремума. Достаточные условия экстремума
функции 2-х переменных.
Неявная функция. Вычисление её производных. Условный экстремум.
3 семестр.
Числовые ряды. Критерий Коши сходимости. Свойства сходящихся рядов. Ряды
с неотрицательными членами. Теоремы сравнения. Признаки Даламбера, Коши,
Гаусса (без доказательства). Интегральный признак сходимости. Сходимость
ряда [pic].
Абсолютная сходимость. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Условная
сходимость. Теорема Лейбница.
Равномерная сходимость функциональной последовательности, ряда. Признак
Вейерштрасса равномерной сходимости ряда. Непрерывность суммы равномерно
сходящегося ряда из непрерывных функций. Почленное интегрирование и
дифференцирование ряда.
Степенные ряды. Радиус сходимости. Непрерывность суммы. Почленное
интегрирование и дифференцирование. Разложения элементарных функций в
степенные ряды.
Ортонормированные системы функций. Обобщённые ряды Фурье.
Тригонометрические ряды Фурье. Теорема сходимости (без доказательства).
Дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение [pic]. Теорема
существования и единственности решения задачи Коши (формулировка).
Уравнения с разделяющимися переменными, однородные. Уравнения вида [pic].
Линейное дифференциальное уравнение первого порядка.
Дифференциальные уравнения n-го порядка. Задача Коши для уравнения
[pic]
Понижение порядка дифференциального уравнения.
Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка. Свойства линейного
однородного дифференциального уравнения. Линейная зависимость функций.
Определитель Вронского. Фундаментальная система решений линейного
однородного уравнения.
Линейное неоднородное уравнение. Принцип суперпозиции.
Метод вариации постоянных.
Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными
коэффициентами. Характеристическое уравнение. Общее решение.
Метод неопределённых коэффициентов для нахождения частного решения
линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными
коэффициентами.
4 семестр.
Двойной интеграл. Его основные свойства и приложения.
Вычисление двойного интеграла. Двойной интеграл в полярных координатах.
Вычисление интеграла
[pic].
Тройной интеграл, его основные свойства и приложения. Вычисление тройного
интеграла. Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах.
Криволинейный интеграл 1-го рода.
Криволинейный интеграл 2-го рода.
Формула Грина. Условия независимости криволинейного интеграла от формы
пути на плоскости. Признак полного дифференциала на плоскости.
Площадь поверхности. Интегралы по поверхности 1-го и 2-го рода.
Формула Остроградского. Её векторная запись.
Формула Стокса. Её векторная запись.
Скалярные и векторные поля. Определение и основные свойства grad, div,
rot, потока и циркуляции векторного поля. Соленоидальное поле. Векторная
трубка в соленоидальном поле. Потенциальное поле.