Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://new.math.msu.su/content_root/programs/kaf/special/diffur/asmet-fil.doc Дата изменения: Mon Nov 10 08:56:19 2008 Дата индексирования: Sun Apr 10 03:13:15 2016 Кодировка: koi8-r

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
проф. А.Ф. Филиппов
1 год
1. Понятие об асимптотике. Пример с интегралом от [pic]
2. Разложение решений по степеням независимого переменного - теорема
Коши, пример.
3. Разложение решений в обобщенные степенные ряды (формулировка теоремы,
примеры, уравнение Бесселя).
4. Асимптотика решений системы при [pic]. Теорема о главном члене
асимптотики - идея доказательства; формулировка теоремы об асимптотическом
разложении решения.
5. Асимптотика решений линейного уравнения 2-го порядка - преобразование
Лиувилля, применение теорем из вопроса 4, примеры.
6. Теоремы о дифференцируемости решения по параметру и о разложения по
степеням параметра (формулировки, примеры).
7. Периодические решения линейных систем - существование решения, когда
нет резонанса, условия существования решения при резонансе, примеры.
8. Периодические решения систем с малым параметром без резонанса -
теорема о существовании решения, примеры.
9. Периодические решения системы с малым параметром при резонансе.
Условия существования решения - без доказательства, способ отыскания
решения, примеры.
10. Субгармонические колебания. Возможные периоды решений, условия
существования субгармоник, метод отыскания, пример.
11. Периодические решения автономных систем. Леммы об аналитической
зависимости решений и их периодов от амплитуды и параметра, метод отыскания
решений и их периодов, примеры.
12. Предельные циклы уравнений с малым параметром. Теорема существования
цикла, метод отыскания, пример.
13. Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты (включая
резонанс).
14. Неавтономные системы, близкие к нелинейным автономным. Система
уравнений в вариациях. Сопряженная система. Теорема о необходимых условиях
существования периодического решения. Пример. Вид разложений по степеням
параметра в разных случаях.
15. Метод усреднения. Приведение системы к стандартному виду.
Формулировки двух основных теорем, доказательство 1-й в периодическом
случае.
16. Метод усреднения. Построение приближений и улучшенных приближений на
примерах.
17. Уравнения с малым параметром при производной. Предельный случай
[pic]. Медленные и быстрые движения при [pic]. Анализ устойчивости
медленных движений. Пример с вольтовой дугой. Релаксационные колебания в
системе двух уравнений - пример с предельным циклом, состоящим из участков
медленных и быстрых движений.
18. Линейные уравнения с малыми параметрами при старших производных.
Анализ задачи Коши. Пограничный слой. Краевые задачи. Примеры.