Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://new.math.msu.su/content_root/programs/kaf/special/difgeompr/simpl-osh.doc Дата изменения: Mon Nov 10 08:56:18 2008 Дата индексирования: Sun Apr 10 03:27:29 2016 Кодировка: koi8-r

CИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

доц. А.А. Ошемков
1 год, 3-5 курс, аспиранты
Спецкурс посвящен изложению основных понятий, а также некоторых идей и
методов, используемых в современной симплектической геометрии.
Программу спецкурса можно условно разделить на две части. Первая часть
содержит основные понятия, необходимые для понимания дальнейшего материала,
а также классические результаты. Материал этой части излагается достаточно
подробно и с полными доказательствами. Вторая часть содержит материал,
относящийся к современным достижениям в области симплектической геометрии,
и носит более обзорный характер.
I. Линейная симплектическая геометрия.
1. Симплектическое пространство.
- линейное симплектическое пространство, его каноническая ориентация;
- косоортогональное дополнение и его свойства (симплектические,
изотропные, коизотропные, лагранжевы подпространства);
- линейная теорема Дарбу.
2. Симплектические преобразования.
- линейные симплектические преобразования, геометрия группы [pic],
отображение Кэли;
- аффинные емкости, аффинная теорема о несжимаемости шара;
- "пуассонова группа" и ее алгебра, согласованные скобки, линейная
редукция.
3. Простейшие представления и действия симплектической группы.
- стандартное и присоединенное представления;
- представления в пространствах кососимметрических и симметрических форм,
симплектические эллипсоиды;
- действия на подпространствах и на парах лагранжевых подпространств;
- геометрия лагранжева грассманиана, индекс Маслова, инварианты троек
лагранжевых подпространств.
4. Симплектические, евклидовы и комплексные структуры.
- эрмитово пространство, согласованность симплектической, евклидовой и
комплексной структур;
- стягиваемость множества комплексных структур, согласованных с
симплектической структурой;
- стягиваемость множества "положительных" комплексных структур;
- соотношения между группами ортогональных, симплектических, унитарных
преобразований, геометрия соответствующих однородных пространств.
II. Симплектические многообразия.
1. Основные определения и простейшие примеры.
- cимплектическое многообразие, симплектоморфизм, гамильтоново векторное
поле;
- скобка Пуассона, симплектические листы, функции Казимира;
- лагранжевы подмногообразия;
- кокасательные расслоения, комплексные подмногообразия в [pic];
- пример "экзотической" симплектической структуры в [pic].
2. Кэлеровы многообразия.
- комплексная структура на многообразии, [pic] и проективные
многообразия;
- дифференциально-геометрические и гомологические свойства кэлеровых
многообразий;
- пример Тёрстона.
3. Орбиты коприсоединенного представления.
- инвариантные симплектическая и кэлерова структуры на орбитах
коприсоединенного представления;
- [pic], [pic] как орбиты коприсоединенного представления;
- симплектическая редукция, отображение момента.
4. Локальная эквивалентность в симплектической геометрии.
- теорема Дарбу, относительная теорема Дарбу (теорема Дарбу-Вейнстейна);
- теорема Костанта;
- теорема Лиувилля.
5. Пуассоновы многообразия.
- согласованные скобки;
- теорема о расщеплении пуассоновой структуры;
- "пуассонова группа", редукция.
6. Почти-комплексные структуры.
- интегрируемость почти-комплексной структуры, тензор Нийенхёйса;
- почти-комплексные структуры, согласованные с невырожденной формой;
- дифференциально-геометрические свойства невырожденных форм и почти-
комплексных структур;
- несуществование почти-комплексной структуры на [pic].
III. Симплектоморфизмы.
1. Топология группы симплектоморфизмов.
2. Двумерный случай, терема Мозера.
3. Гамильтоновы, пуассоновы симплектоморфизмы, flux-гомоморфизм.
4. Действия торов, теорема о выпуклости образа отображения момента.
5. Симплектические емкости.
IV. Псевдо-голоморфные кривые.
1. Определения и некоторые свойства (существование, положительность
пересечений, свойство минимальности).
2. Теорема о компактности.
3. Tеоремы Громова и их приложения (ширина, упаковки, точные лагранжевы
подмногообразия в [pic], экзотические симплектические структуры в [pic]).