Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://new.math.msu.su/content_root/programs/kaf/special/difgeompr/grup-bol.doc Дата изменения: Mon Nov 10 08:56:17 2008 Дата индексирования: Sun Apr 10 03:22:25 2016 Кодировка: koi8-r

ГРУППЫ ЛИ И АЛГЕБРЫ ЛИ

проф. А.В. Болсинов
1 год, 3-5 курс
1. Понятие группы Ли и алгебры Ли. Примеры. Топологические и метрические
пространства. Непрерывные отображения и гомеоморфизмы.
2. Гладкие многообразия. Гладкие отображения. Касательное пространство и
дифференциал. Векторные поля и коммутатор векторных полей. Теорема о
неявной функции.
3. Определение группы Ли. Теорема: любая линейная алгебраическая группа
является группой Ли. Примеры матричных групп Ли. Группы, сохраняющие формы.
4. Алгебра Ли группы Ли. Три различных определения. Что получается в
матричном случае. Доказательство эквивалентности трех определений в общем
случае.
5. Основные понятия из теории динамических систем: векторные поля,
однопараметрические группы диффеоморфизмов, полнота, потоки.
Левоинвариантные векторные поля и их траектории. Их полнота.
Однопараметрические подруппы как траектории левоинвариантных векторных
полей, проходящих через единицу группы.
6. Экспоненциальное отображение и его свойства. Случай матричных групп.
Гомоморфизмы групп Ли и ассоциированные с ними гомоморфизмы алгебр.
7. Действия групп Ли и их линейные представления. Основные понятия:
орбиты, стационарные подалгебры, векторные поля, отвечающие элементам
алгебры Ли.
8. Группа диффеоморфизмов как бесконечномерная группа Ли и ее алгебра Ли.
Коммутатор в этой алгебре Ли (знак минус). Производная Ли и присоединенное
представление группы диффеоморфизмов.
9. Теоремы о связи групп Ли и алгебр Ли. Фундаментальная группа группы
Ли. Вопросы неодносвязности.
10. Однородные пространства групп Ли. Примеры.
11. Нильпотентные алгебры Ли и нильпотентные представления. Теорема Ли-
Энгеля.
12. Разрешимые алгебры Ли. Теорема Ли. Радикал алгебры Ли. Полупростые
алгебры Ли и форма Картана-Киллинга. Формулировка теоремы Мальцева о
разложении.
13. Структура полупростых алгебр Ли. Подалгберы Картана, системы корней,
группы Вейля. Классификация простых комплексных алгебр Ли.
14. Компактные группы Ли и компактные алгебры Ли. Биинвариантная метрика
на компактной группе Ли и ее геодезические.
15. Компактные симметрические пространства. Вещественные формы
комплексных полупростых алгебр Ли и инволюции Картана.