Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://new.math.msu.su/admission/mech-zaoch-03.pdf Дата изменения: Wed Feb 16 15:49:36 2011 Дата индексирования: Sat Apr 9 22:44:19 2016 Кодировка: Windows-1251

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова Заочная школа-олимпиада по механике, 3-й тур

Одной из важных составляющих физико-математического образования является умение делать численные оценки в уме, вычислять приближенно, оценивать погрешности вычислений, чувствовать числовые порядки результатов вычислений. Во всех практических задачах исследователь не может ограничиться замысловатой математической формой записи результата. Если в ответе получаются числа типа: 3, sin , log2 3, то задача еще не решена. Надо уметь дать 5 приближенную оценку результата, выраженную рациональной или десятичной дробью. Кто-то может подумать, что на этот случай существуют калькуляторы и, вообще, многие вычислительные процедуры можно выполнять с помощью компьютера. Но любой полученный с помощью электронной техники результат требует анализа и проверки, потому что любые вычисления могут содержать ошибки, которые как раз тренированный на устном счете ум исследователя легко заметит. Умение проводить многие арифметические действия в уме, знание основных приемов устного счета во-первых многократно ускоряют все расчетные процедуры, во-вторых, являются совершенно необходимой гимнастикой ума для молодых людей, выбравших точные науки в качестве будущей сферы деятельности. Для начала освоим несколько таблиц.
11 12 13 14 15 16 17 18 19
2 2 2 2 2 2 2 2 2

= = = = = = = = =

121 144 169 196 225 256 289 324 361

152 252 352 452 552 652 752 852 952

= = = = = = = = =

225 625 1225 2025 3025 4225 5625 7225 9025

..12 ..22 ..32 ..42 ..52 ..62 ..72 ..82 ..92

= = = = = = = = =

.... .... .... .... .... .... .... .... ....

1 4 9 6 5 6 9 4 1

..13 ..23 ..33 ..43 ..53 ..63 ..73 ..83 ..93

= = = = = = = = =

......1 ......8 ......7 ......4 ......5 ......6 ......3 ......2 ......9

Первая таблица это то, что надо знать наизусть квадраты натуральных чисел второго десятка. . Вычислить в уме: 1,12, 1,32, 1,72, 1,92, 0,122, 0,142, 3,61, 2,89, 0,0256 Вторая таблица это квадраты чисел оканчивающихся на 5 и для их вычисления надо запомнить правило: количество десятков данного числа надо умножить на число равное количеству десятков +1. Затем приписать к результату справа 25. Например: 452. У этого числа 4 десятка. Тогда умножаем 4 ћ (4 + 1) = 20 и приписываем 25 452 = 2025. Еще пример: 1052. У этого числа 10 десятков. Тогда умножаем 10 ћ (10 + 1) = 110 и добавляем 25 1052 = 11025. . Вычислить в уме: 1152, 1252, 1,52, 3,52, 7,52, 9,52, 20,25, 42,25, 72,25, 0,0625. Третья и четвертая таблицы указывают количество единиц в числе, которое является квадратом и кубом числа, оканчивающегося на соответствующую цифру. Эти таблицы помогают вычислять квадратный и кубический корни. Рассмотрим 676. Сначала определим значение этого корня с точностью до десятков: т.к. 400 < 676 < 900, то 20 < 676 < 30 Затем проверим что 25 < 676 (252 = 625 < 676). Теперь из третьей таблицы видно, что только одно число может претендовать на значение корня: 26. Проверим 262 = (25 + 1)2 = 676. Ответ: 676 = 26. Корень кубический вычисляется по такой же процедуре. Пример 12167. Вычислим корень с точностью до десятков. Т.к. 203 = 8000 < 12167 < 27000 = 303, то 20 < 12167 < 30. Из четвертой таблицы следует, что претендовать на значение корня может только число 23. Проверим 233 = 232 Ч 23 = (20 + 3)2(20 + 3) = 529(20 + 3) = 10580 + 1500 + 60 + 27 = 12167.
1. Упражнение 2. Упражнение
3 3


Кроме этого, полезно использовать некоторые правила умножения. Умножение на 11. При умножении двузначного числа на 11 возникает правило: между цифрами десятков и единиц надо вставить сумму этих цифр. Если сумма окажется больше 10, то в разряд сотен добавляется единица. Примеры: 14 Ч 11 = 154, 23 Ч 11 = 253, 87 Ч 11 = 957. Если речь идет об умножении, больших чисел, то удобнее представить 11 = 10 + 1 и умножать число на десять, а затем к результату добавлять само исходное число. Примеры: 125 Ч 11 = 125 Ч (10 + 1) = 1250 + 125 = 1375, 223 Ч 11 = 223 Ч (10 + 1) = 2230 + 223 = 2453. . Вычислить в уме: 27 Ч 11, 34 Ч 11, 55 Ч 11, 69 Ч 11, 73 Ч 11, 120 Ч 11, 157 Ч 11, 3274 Ч 11. Умножение на 9. При умножении на 9 удобно представить 9 = 10 - 1, т.е. умножать данное число на 10 и вычитать само число. Примеры: 125 Ч 9 = 125 Ч (10 - 1) = 1250 - 125 = 1125, 223 Ч 9 = 223 Ч (10 - 1) = 2230 - 223 = 2007. . Вычислить в уме: 26 Ч 9, 37 Ч 9, 55 Ч 9, 89 Ч 9, 93 Ч 9, 122 Ч 9, 247 Ч 9, 4357 Ч 11. Умножение на 15. При умножении на 15 сначала умножаем на 10, а затем к полученному результату добавляем половину от этого результата, что соответствует представлению 15 = 10 + 5. Примеры: 125 Ч 15 = 125 Ч (10 + 5) = 1250 + 1250 = 1250 + 625 = 1875, 223 Ч 15 = 2 223 Ч (10 + 5) = 2230 + 2230 = 2230 + 1115 = 3345. 2 . Вычислить в уме: 29 Ч 15, 37 Ч 15, 58 Ч 15, 63 Ч 15, 79 Ч 15, 121 Ч 15, 177 Ч 15, 3171 Ч 15. Умножение с использованием среднего значения. Если среднее арифметическое двух целых множителей тоже целое число, то для вычисления произведения удобно воспользоваться этим средним значением и формулой сокращенного умножения. Примеры: 12Ч14 = (13-1)ћ(13+1) =
4. Упражнение 5. Упражнение 6. Упражнение

3 50653, 3 970299

3. Упражнение

. Вычислить в уме:

1369, 1936, 2809, 5929, 7921, 3 4913, 3 24389,

132 - 1 = 169 - 1 = 168; 17 Ч 27 = (22 - 5) ћ (22 + 5) = 222 - 25 = (20 + 2)2 - 25 = 484 - 25 = 439; 47 Ч 53 = (50 - 3) ћ (50 + 3) = 502 - 9 = 2500 - 9 = 2491. 7. Упражнение. Вычислить в уме: 29 Ч 19, 34 Ч 36, 55 Ч 59, 69 Ч 71, 73 Ч 77, 120 Ч 130, 157 Ч 161, 3274 Ч 3326.

мулам сокращенного умножения:
212 322 432 542 562 672 782 892 = = = = = = = = (20 (30 (40 (55 (55 (65 (75 (90 + + + - + + + - 1)2 2)2 3)2 1)2 1)2 2)2 3)2 1)2 = = = = = = = = 202 302 402 552 552 652 752 902 + + + - + + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 ћ ћ ћ ћ ћ ћ ћ ћ 20 30 40 55 55 65 75 90 ћ ћ ћ ћ ћ ћ ћ ћ

Возведение в квадрат двузначных (иногда и трехзначных) чисел удобно проводить по фор12 = 22 = 32 = 12 = 12 = 22 = 32 = 12 = уме: 292, 1 2 3 1 1 2 3 1 + + + + + + + + 400 + 40 + 1 = 441 900 + 120 + 4 = 1024 1600 + 240 + 9 = 1849 3025 - 110 + 1 = 2916 3025 + 110 + 1 = 3136 4225 + 260 + 4 = 4489 5625 + 450 + 9 = 6084 8100 - 180 + 1 = 7921 342 , 552 , 692 , 732 , 1212 , 1572 , 32742

Упражнение

Как оценить число 17? Легко вычислить 16, значит первая оценка 17 4. Следующая, более точная оценка, может быть сделана с помощью производной функции y = x. В общем случае, значение функции в точке x, ?близкой? к точке x0, в которой значение функции известно, определяется формулой: f (x) = f (x0 ) + f (x0 )(x - x0 )) (1) Эта формула в приведенном примере дает следующий результат:
17 16 +
17-16 2 16

Приближенные вычисления

. Вычислить в

.


=4+

1 8

= 4, 125


Задания 3-го тура школы-олимпиады по механике:

Используя формулу (1) при функций:
1. 2.

1

Получите простые оценки для значений следующих
1 - 2, (1 + )n 1 + n

Получите,используя табличные значения тригонометрических функций и формулы тригонометрии, числовые оценки для следующих значений тригонометрических функций: Вдоль окружности цирковой арены (которая, как известно, имеет диаметр 13 метров) против часовой стрелки бегают болонка и пудель. Болонка делает полный круг на 10 секунд медленней пуделя и поэтому совершает в минуту на 3 круга меньше. В начальный момент собаки находятся в одной точке. а) Чему равно расстояние между ними через 6 секунд? б) Если в начальный момент времени собачек "связать"резинкой длиной 11,5 метров, натянется ли резинка через 6 секунд? в) А если длина резинки равна 10,5 метров? Сухогруз вышел из порта А и двинулся строго на запад со скоростью 10 узлов (1 узел = 1 морская миля в час). Через 10 часов он сменил направление на северное и прибыл в порт Б еще через 10 часов. На следующий день он вышел из порта Б с той же скоростью в юго-восточном направлении, одновременно с ним из порта А на юго-запад вышел катер со скоростью 20 узлов. Найти минимальное расстояние между сухогрузом и катером. Ответ записать в милях, округлив до ближайшего целого. По реке с постоянными скоростями плывут два катера, каждый строго по своей прямой линии. В некоторый момент времени первый из них оказался в точке A, а второй в точке B . Причем направление течения реки в этот момент времени составило угол 60 к направлению -. Через некоторое время катера встретились в точке C . Оказалось, что треугольник AB AB C равнобедненный прямоугольный с вершиной в точке A. Найдите минимальное отношение собственной скорости второго катера к скорости реки, при котором это осуществимо. Ответ выразите виде дестятичной дроби и округлите до сотых долей.
3. 4. 5.

1 + 1 + , sin , tg , 2

1- 1+

sin

18

, tg

5 12

, ctg

3 8