![1999. N 3](imgnom3.gif)
Научно-исследовательский семинар по векторному и тензорному
анализу и приложениям к геометрии, механике и физике // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика.
C. 69-70.
НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ СЕМИНАР ПО ВЕКТОРНОМУ И ТЕНЗОРНОМУ АНАЛИЗУ И ПРИЛОЖЕНИЯМ К ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ
Руководители: В.В. Трофимов, А.Т. Фоменко
Заседания весеннего семестра 1997/98 учебного года
6 апреля
В.В. Трофимов.
Геометрия вполне интегрируемых гамильтоновых систем.
Дан обзор геометрии симплектических многообразий. Рассмотрены
топологические инварианты, препятствующие существованию симплектических
структур на гладких многообразиях, а также проблемы, связанные с
построением симплектических связностей. Представлена геометрия
вполне интегрируемых гамильтоновых систем: торы Лиувилля, скобки Пуассона
и их связь с теорией алгебр Ли и групп Ли. Обсуждается построение
вполне интегрируемых гамильтоновых систем на орбитах коприсоединенного
представления группы Ли, в частности, теорема о сдвиге
аргумента и теорема о тензорном произведении алгебры Ли
коммутативной алгебры.
20 апреля
Т.Л. Мелехина. Геометрия плоских связностей на орбитах коприсоединенного представления тензорных расширений групп Ли. Предложено обобщение известного алгоритма продолжения функций с пространства, дуального к алгебре Ли, на пространство, дуальное к тензорному произведению этой алгебры Ли и коммутативной алгебры. Построены канонические координаты на орбитах общего положения коприсоединенного представления групп Ли, которые отвечают тензорным расширениям алгебр Ли. С использованием этих координат построены плоские симплектические связности на указанных орбитах.
4 мая
В.В. Трофимов.
Дифференциально-геометрические методы математической экономики:
модель монопольного производства.
Изучается вариационная задача следующего вида:
![\begin{displaymath}
\int\limits_0^T [pD(p,\dot p)-C(D(p,\dot p))]\,dt \to \max \,,
\end{displaymath}](sem-vec/img2.gif)
где
![$D(p,\dot p),C(x)$](sem-vec/img3.gif)
![$p(t)$](sem-vec/img4.gif)
![$D$](sem-vec/img5.gif)
![$C$](sem-vec/img6.gif)
![$[0,T]$](sem-vec/img7.gif)
Дано обобщение этой модели на случай призводства товаров,
т.е. рассматривается
-секторное монопольное производство. В этой
ситуации
-- отображение касательного рааслоения к пространству цен
в пространство товаров, а
-- функция на пространстве товаров.
Показано, что для функций
специального вида динамика цен,
составляющая максимум указанному интегралу, реализуется при
движении вдоль геодезических линий некоторого риманового многообразия.
11 мая
В.О. Мантуров.
Сети Штейнера на поверхностях постоянной отрицательной кривизны.
В последние годы одной их актуальных задач является рассмотрение
локально минимальных сетей -- одномерных континуумов, представляющих собой
минимум функционала длины. На двумерных поверхностях, когда топология
не является фиксированной, в каждой вершине такой сети сходятся три ребра
под углами .
Рассмотрим такую склейку сторон ``
-угольника'' плоскости Лобачевского
со всеми нулевыми углами, что полученное многообразие гомеоморфно сфере
с несколькими выколотыми точками. Утверждается, что количество сетей
Штейнера на таких многообразиях постоянной отрицательной кривизны конечно.
Приводятся все сети Штейнера на указанной выше сфере с тремя выколотыми точками.
25 мая
М.П. Бурлаков.
Пространства Козырева.
Н.А. Козырев -- выдающийся астроном и астрофизик. Ряд его
работ посвящен изучению физических свойств пространства-времени, из которых
он выделяет направленность времени от прошлого к будущему и различие между
правой и левой ориентацией вращения пространства. Цикл этих работ
открывает книга Козырева ``Несимметричная или причинная механика в
линейном изложении'', где приведены основные теоретические результаты.
Можно показать, что результаты, следующие из теории Козырева, можно
получить в рамках основных идей общей теории относительности, если
симметричную метрику заменить билинейной метрикой вида
,
,
.
Метрики такого вида на гладких многообразиях изучались многими
геометрами, отметим работы А.П. Нордена, П.А. Широкова,
Б.Н. Шапукова. В случае псевдориманового пространства с симметричной
связностью в уравнении согласованности метрики и связности можно разделить
симметричную и кососимметричную части. Это приводит к системе уравнений типа
Эйнштейна-Гильберта
![\begin{displaymath}
R_{ij}-\frac12 g_{ij}R= 8\pi T_{(ij)},
\quad
h_{ij}R =16\pi T_{[ij]} \,.
\end{displaymath}](sem-vec/img16.gif)
Кососимметрическая часть тензора энергии-импульса связана с моментом импульса материи, а кососимметрическая часть метрики порождает выделенное направление вращения и различие бустов вдоль временного направления. Эти результаты и составляют основные заключения причинной механики Козырева.
1 июня
Г.С. Чакветадзе. Одномерная динамика и модель бурения. В докладе обсуждаются вопросы существования и эргодичности конечной абсолютно непрерывной инвариантной меры одномерного отображения, возникающего при моделировании процесса бурения.
8 июня
Л.В. Липагина.
О геометрии -многообразий.
Киллинговы
-структуры являются естественным обобщением приближенно
кэлеровых и слабо косимплектических структур, широко изучаемых в печати.
В докладе освещаются недавние результаты автора по данной проблематике.
8 июня
И.П. Борисовский.
О геометрии главных -расслоений над почти эрмитовыми многообразиями.
Главные тороидальные расслоения, т.е. главные расслоения
с компактной абелевой структурной группой, являются простейшим и в то
же время содержательным примером главных расслоений. В теории таких
расслоений тесно переплетены геометрические и топологические аспекты.
В докладе освещается ряд новых результатов докладчика, касающихся
геометрии этих расслоений с одномерным слоем.