Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://new.math.msu.su/unc/study/A8_1.doc Дата изменения: Fri Mar 14 17:39:56 2008 Дата индексирования: Sat Apr 9 22:56:51 2016 Кодировка: koi8-r

Устойчивость при косом изгибе и кручении в случае малых деформаций.
Потеря устойчивости возможна не только при сжатии стержней (Задача
Эйлера), но и при изгибе, когда малые отклонения действия силы от плоскости
главных осей моментов инерции приводят к боковому прогибу и кручению.
Рассмотрим в качестве примера задачу нагружения балки прямоугольного
сечения сосредоточенной силой [pic] (рис.1).
[pic]
Рис.1 Деформация косого изгиба-кручения при потере устойчивости балки
прямоугольного сечения.
Пусть сечения А и B балки жестко закреплены, а в сечении С, соответствующем
половине ее длины L , дествует сосредоточенная сила Р.
[pic]
(1)
[pic]
[pic], где [pic]коэффициент Сен-Венана;
[pic]
Введем единичные векторы, связанные с деформированной осевой линией:
[pic]
Дифференциалы этих векторов связаны соотношениями:
[pic]
[pic]
Учитывая определение естественного базиса, получим в силу малости [pic]:
[pic]
(2)
Определим кручение пространственной кривой, воспользовавшись выражением
[pic] где [pic]кручение.

[pic] (3)
Спроектируем уравнения (1) на введенные векторы подвижного базиса
[pic];
[pic];
[pic];
[pic];
[pic];
[pic].
Пренебрегая величинами второго порядка малости, получим:
[pic];
[pic];
[pic];
[pic];
[pic];
[pic]
[pic], где [pic];

[pic], где [pic];


[pic], где [pic];
[pic]

Разложим силу [pic] на составляющие по главным осям инерции [pic]. Тогда
изгибающие моменты в сечении [pic] будут равны:
[pic]
Уравнение нейтральной оси определяется углом [pic] и моментами инерции
[pic]
[pic]
Кривизны при косом изгибе будут соответственно равны:
[pic].
Тогда получим:
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]