Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://new.math.msu.su/unc/study/A3_2.doc Дата изменения: Fri Mar 14 17:39:53 2008 Дата индексирования: Sat Apr 9 22:56:04 2016 Кодировка: koi8-r

Лекции
Кручение цилиндрических стержней.


Рассмотрим цилиндрический стержень (рис.1), боковые поверхности
которого свободны от нагрузок а к торцевым поверхностям приложены моменты,
направленные вдоль осевой линии стержня. Ось [pic] направлена вдоль оси
стержня.
[pic]
Рис.1 Кручение стержня моментом [pic]. На боковой поверхности силы не
действуют: [pic] вектор напряжений равен нулю.

Воспользуемся уравнениями равновесия упругой среды при отсутствии
массовых сил:
[pic],
[pic],
(1)
[pic].
Уравнения (1) необходимо решить с однородными ( вектор напряжений равен
нулю) граничными условиями на боковой поверхности, где вектор нормали [pic]
[pic],
[pic],
(2)
[pic].
На торцевой поверхности [pic] главный вектор сил должен быть равен нулю, а
главный момент задан и имеет составляющую только на ось [pic]. Отсюда для
составляющих главного вектора получим
[pic][pic][pic] (3)
для составляющих главного момента имеем векторное условие
[pic],
или три скалярных
[pic][pic][pic]. (4)
Будем считать, что нормальные сечения стержня остаются плоскими и лишь
поворачиваются на угол пропорциональный расстоянию между ними
[pic]
(5)
Отличными от нуля деформациями и напряжениями будут:
[pic]
[pic]
Отметим, что напряжения тождественно удовлетворяют уравнениям равновесия
(1) и последним двум граничным условиям (1), а их подстановка в первое
условие (2) дает соотношение
[pic] или [pic], (6)
где [pic] произвольная точка боковой поверхности цилиндра.
Условие (6) можно выполнить тождественно только в том случае, если считать
сечение цилиндра окружностью.
Условия (3) равенства нулю главного вектора сил
[pic][pic][pic]
выполняются, если ось [pic] проходит через центр тяжести сечения.

Условия (4) для моментов на торце цилиндра примут вид
[pic]
[pic] (7)
[pic].
Таким образом для стержня круглого сечения удается построить решение
полностью, поскольку угол закрутки определяется первым условием из (7):
[pic]
где [pic] геометрический момент инерции сечения относительно оси [pic]
В общем случае, когда сечение не является кругом его плоскость при
кручении искажается, поэтому будем искать решение для перемещений в форме
[pic]
(8)
Тогда отличные от нуля деформации и напряжения таковы:
[pic]
[pic]
(9)
условия равновесия (1) приводят к уравнению для функции [pic]
[pic]
(10)
Тогда условия (2) отсутствия усилий на боковой поверхности эквивалентны
уравнению для точек контура сечения
[pic]
(11)
Учитывая, что для произвольной точки контура
[pic],
перепишем условие (11) в форме
[pic] или [pic]. (12)
Таким образом учитывая уравнение (10) определение функции кручения свелось
к решению задачи Неймана. Для функции [pic], сопряженной к гармонической
функции
[pic], т.е. выполнены условия Коши-Римана [pic] получим из (12)
краевую задачу
[pic] (13)
То есть получилась задача Дирихле. Постоянная интегрирования для случая
многосвязных контуров сечения на каждом контуре принимает свое значение.
Если ввести функцию напряжений [pic], получим
[pic]
Функция напряжений будет удовлетворять уравнению Пуассона
[pic]
(14)
с граничным условием
[pic]
(15)
на каждом из контуров сечения в случае его многосвязности.
Проверим условие равенства нулю главного вектора сил, приложенных на
торцах стержня. Поскольку [pic],
[pic], [pic]
Найдем момент сил на торце стержня
[pic]
где [pic]площадь ограниченная [pic]тым контуром границы многосвязной
области сечения, причем для внешнего контура [pic] а для остальных контуров
постоянные определяются из условия непрерывности вектора перемещения при
обходе контура.
При вычислении интеграла по внутренним контурам границы учтено, что обход
контура оставляет область с левой стороны, а также то, что
[pic] где [pic]площадь области, ограниченная контуром.
Для односвязного контура
[pic]
(16)
для многосвязного контура

[pic]
(17)
Теорема о циркуляции касательного напряжения. Определение постоянных
для многосвязной области сечения контура.
Теорема о циркуляции касательного напряжения по любому замкнутому
контуру:
I=[pic] , где [pic]площадь, ограниченная контуром [pic]
При вычислении циркуляции учтем формулы (8) для перемещения
[pic]
и формулы (9) для напряжений
[pic]
В результате подстановки напряжений в выражение для циркуляции получим:


[pic]
Поскольку в силу однозначности перемещения [pic] при обходе контура
интеграл
[pic]
Применяя теорему о циркуляции к каждому внутреннему контуру границы
многосвязной области, получим систему [pic] уравнений для определения [pic]
[pic]
(18)
Кручение трубы.
Проверим полученные результаты на примере контура, ограниченного двумя
концентрическими окружностями внешнего радиуса [pic] и внутреннего радиуса
[pic].
Условие равенства нулю на внешней поверхности можно выполнить, если искать
функцию напряжений в виде
[pic].
После подстановки в уравнение Пуассона, получим
[pic]
Найдем напряжения
[pic].
Применим теорему о циркуляции к внутреннему контуру
[pic]
Таким образом данная функция напряжений удовлетворяет всем условиям задачи.
Найдем действующий момент прямым вычислением и используя формулу (17):
[pic];
[pic]

Кручение цилиндра с эллиптическим сечением
Рассмотрим цилиндр, контуром сечения которого является эллипс
[pic].
Будем искать функцию напряжений в виде
[pic][pic]
которая на контуре очевидно равна нулю. Ее оператор Лапласа равен
[pic],
откуда находим сонстанту В
[pic]
[pic], [pic]
Максимальное касательное напряжение достигается на границе и равно
[pic]
Вычисляя момент найдем его связь с углом кручения
[pic] (19)
Кручение стержня прямоугольного сечения.
Рассмотрим кручение стержня прямоугольного сечения:
[pic].
Будем искать функцию напряжений в виде ряда
[pic]
(20)
При таком разложении на границах [pic] Подставим (20) в уравнение Пуассона
[pic] (21)
Умножим левую и правую часть равенства на [pic] и проинтегрируем по [pic]
от [pic] до [pic], учитывая ортогональность функций [pic] и [pic], т.е.
[pic] , а [pic] (22)
Учет (22) после интегрирования приводит к следующим уравнениям для функций
[pic]:
[pic]
Выбрано решение, удовлетворяющее условию [pic]
Таким образом функция напряжений найдена в виде ряда:
[pic] (23)
Найдем решение другим способом. Рассмотрим прямоугольник в котором [pic].
Тогда в силу граничных условий при [pic] можно искать решение в виде
[pic]
(24)
В (24) функция [pic] будет удовлетворять гармоническому уравнению. Если как
и ранее решать задачу методом разделения переменных, для функций [pic]
получим однородные уравнения
[pic]
Поскольку нам нужны четные решения, получим
[pic]
Найдем постоянные [pic] из условия [pic]. Для этого умножим уравнение
[pic]
на [pic] и проинтегрируем по [pic] от [pic]до [pic].
В результате получим:
[pic]. (25)
Отличие решения (25) от (23) существенно, поскольку часть ряда
просуммирована и оставшийся ряд быстро сходится.
Если найти момент и максимальное касательное напряжение, получим:
[pic] при [pic]
Для профилей в виде тонких полос шириной [pic] и длиной [pic]
[pic],
а для открытых профилей, составленных из нескольких полос
[pic]
Кручение тонкостенного стержня многосвязного сечения.
Пусть сечение стержня представляет собой тонкостенную многосвязную
область (рис.2). Будем считать, что толщина много меньше радиуса кривизны
[pic]
[pic]
Рис. 2 Тонкостенный стержень многосвязного сечения

Тогда для выделенного элемента стенки стержня стенки можно считать
параллельными, а решение слабо зависящим от переменной [pic]. В этом случае
уравнение Пуассона можно приближенно записать в виде
[pic] (26)
Решение уравнения (26) с учетом граничных условий дает функцию напряжений
[pic] (27)
В рамках данного приближения [pic] Поскольку величина [pic] мала, вторым
слагаемым можно пренебречь и считать касательное напряжение постоянной
величиной
[pic]
(28)
Применим теорему о циркуляции касательного напряжения к каждому контуру (
на рис.2 таких контуров два). При этом на внешнем контуре будем считать
постоянную равной нулю, на контуре 1 будем считать ее равной [pic], а на
контуре 2, равной [pic]
Тогда получим:
[pic];
[pic].
Решая полученную систему относительно постоянных, найдем
[pic]
где [pic] [pic]
[pic]
Если считать толщины одинаковыми, формулы упрощаются
[pic], [pic]
Выражение для момента согласно формуле равно
[pic],
где [pic]