Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://new.math.msu.su/unc/study/A3_1.doc Дата изменения: Fri Mar 14 17:39:55 2008 Дата индексирования: Sat Apr 9 22:56:00 2016 Кодировка: koi8-r

Лекции
Одноосное растяжение-сжатие, изгиб и кручение цилиндрических стержней.
Уравнения движения криволинейных стержней. Уравнения движения идеально
гибких канатов (нитей).

Рассмотрим геометрически самый простой элемент конструкций -
цилиндрический стержень (рис.1), который находится в состоянии одноосного
растяжения-сжатия. Ось [pic] направлена вдоль оси стержня.
[pic]
Рис.1 Одноосное напряженое состояние стержня. На выделенный сечениями [pic]
и [pic] элемент действуют силы внутренних напряжений [pic] и [pic], где
[pic]площадь сечения. На боковой поверхности силы не действуют, поэтому
вектор напряжений равен нулю.

Если считать, что на стержень действуют массовые силы с плотностью [pic],
направленные вдоль оси стержня, то уравнение движения выделенного элемента
можно получить записав уравнение равновесия с учетом массовых сил и сил
инерции
[pic],
которое после деления на [pic]приводит к дифференциальному уравнению
движения цилиндрического стержня
[pic],
(1)
где [pic]напряжение, [pic]площадь сечения стержня, [pic]перемещения
сечений стержня. Для статических задач равновесия [pic] уравнение (1)
становится уравнением равновесия
[pic]
(2)
позволяет определить распределение напряжений вдоль оси стержня.
Для динамических задач уравнение (1) замыкается выражеием для деформации и
законом Гука
[pic]
(3)
В случае цилиндрических стержней уравнение (2) является «точным», поскольку
граничные условия на боковой поверхности (вектор напряжений равен нулю)
выполнены. В случае переменного сечения [pic] уравнение (2) является
приближенным, поскольку граничные условия на боковой поверхности уже не
выполнены точно и для таких стержней использование уравнения (2) возможно
только для случая [pic], где [pic]средний радиус сечения.
Рассмотрим работу, которая затрачивается при при одноосном растяжении
стержня. Будем увеличивать действующую силу квазистатически от нуля до
конечного значения [pic] малыми приращениями [pic], считая что в каждый
рассматриваемый момент стержень находится в равновесии. Тогда на каждом
шаге мы можем посчитать работу для стержня длины [pic]
[pic].
Тогда вся затраченная работа будет представлена интегралом
[pic]
Эта работа перешла в упругую энергию деформированного стержня. Если
подсчитать сколько энергии запасено в единице объема тела получим следующее
выражение для объемной плотности упругой энергии
[pic].
(4)

Чистый изгиб начально прямолинейного стержня.

Рассмотрим задачу чистого изгиба прямолинейного стержня круглого
сечения заданными моментами (рис.2). Пусть в результате изгиба осевая линия
стержня не меняет своей длины и описывается плоской параметрически,
заданной кривой
[pic]

Будем считать, что сечения стержня нормальные к его осевой линии и после
деформации остались нормальными к изогнутой оси.
[pic]
[pic]
Рис.2 Изгиб стержня круглого сечения моментом М.

Введем единичные векторы касательной и нормали к осевой линии
[pic] (5)
В приведенных выражениях: [pic] единичный вектор касательный к осевой
линии; [pic] единичный вектор нормали; [pic]радиус кривизны кривой; [pic]
кривизна кривой.
В силу принятых нами гипотез материальное волокно осевой линии АВ,
имевшее в недеформированном состоянии координату [pic] (рис.2(b)), не
меняет своей длины. В силу гипотезы нормальных сечений точка, имевшая в
недеформированном состоянии координаты [pic], после деформации останется в
плоскости нормальной к осевой линии, т.е. ее новое положение определяется
радиусом вектором
[pic]

Тогда длина [pic]материального волокна, имевшего до деформации координату
[pic] и после деформации изменится и станет [pic] (рис.2(b)).
Таким деформация волокна будет иметь следующую величину
[pic].
(6)
Соответствующие деформациям (6) напряжения растяжения - сжатия будут равны:
[pic]
(7)
Для рассматриваемого круглого сечения (сечение - множество: [pic] ) можно
подсчитать главный вектор сил и главный момент:
[pic]
[pic] (8)
где [pic] геометрический момент инерции сечения стержня относительно оси,
проходящей через осевую линию стержня паралллельно оси [pic].
Поскольку главный вектор сил равен нулю, уравнения равновесия выделенного
элемента (рис.2(а)) сводятся к равенству моментов:
[pic]
Откуда следует, что
[pic]
(9)
Таким образом изогнутое состояние стержня моментом является дугой
окружности радиуса
[pic].
(10)
Для каждого бесконечно малого элемента (рис.2(а)) стержня можно ввести
локальную систему кординат так, что начало системы координат расположено в
точке с координатами [pic], а орты осей соответственно равны [pic].
В данной системе координат малы не только деформации, но и
перемещения. Тогда можно считать, что [pic]. Матрица напряжений [pic]
удовлетворяет уравнениям равновесия при отсутствии массовых сил [pic] и
граничным условиям равенства нулю вектора напряжений на свободной
поверхности
[pic]
Таким образом можно считать, что в рамках малых деформаций рассмотренное
решение является точным.
Посмотрим, что изменится в полученном решении, если в качестве
сечения рассмотреть произвольную плоскую фигуру, симметричную относительно
плоскости [pic] (см.рис.3.):
фигура представленная на рис.3(а) - прямоугольник со сторонами [pic]
фигура представленная на рис.3(b) - многоугольник составленный из трех
прямоугольников, два из которых равны. Стороны прямоугольников
соответственно равны [pic]
Для того, чтобы выполнялись условия равенства нулю главного вектора
сил (первое из условий (8)) необходимо, чтобы осевая линия стержня
совпадала с
геометрическим центром тяжести фигуры.
[pic]
Рис.3 Примеры форм геометрии сечений стержня.

При определениий положения центра тяжести фигур полезно вспомнить некоторые
приемы, облегчающие эту процедуру.
Например для треугольника центр тяжести совпадает с точкой
пересечения его медиан.
Геометрический центр тяжести сложной фигуры, составленной из фигур
более простой формы, совпадает с центром тяжести системы точек, совпадающих
с центрами тяжести отдельных фигур и массами равными площадям
соответствующих фигур. Для прямоугольника (рис.3(а)) центр тяжести - центр
его симметрии. Для фигуры, представленной на рис.3(b), центр тяжести
находится по простой схеме:
1) разбиваем ее на три простые фигуры - в данном случае
прямоугольники, центр тяжести которых находится в центре каждого из
них;
2) в эти точки помещаем массы, равные их площади;
3) находим положение центра тяжести всей фигуры из условия равновесия
этих точек, под действием параллельных сил тяжести.
Для верхнего прямоугольника соответсвующая точка будет иметь массу [pic] и
удалена на расстояние [pic] от линии на которой лежат их общие части
сторон. Для каждого из двух нижних прямоугольников массы точек равны [pic]и
они удалены на расстояние [pic] от общей линии. Две нижние точки можно
заменить одной точкой, находящейся в плоскости симметрии и имеющей массу
[pic] на расстоянии [pic] от общей линии. Таким образом задача свелась к
определению центра тяжести двух точек. Пусть он находится на расстоянии
[pic]от верхней точки, тогда условие равновесия сводится к равенству
моментов, т.е.
[pic] (11)
В общем случае сложной фигуры необходимо пользоваться общей формулой
[pic][pic]
При подсчете геометрического момента инерции [pic] относительно
линии, параллельной оси [pic]и проходящей через центр тяжести сечения,
полезно помнить следующее:
Момент инерции плоской фигуры относительно произвольной оси
расположенной в плоскости фигуры складывается из момента инерции
относительно этой оси точки с массой, равной площади всей фигуры и
расположенной в ее центре тяжести, а также из момента инерции фигуры
относительно прямой, параллельной этой оси, но проходящей через ее центр
тяжести. Действительно, если [pic]расстояние от точки фигуры до оси,
а [pic]координата центра тяжести, получим
[pic]
так как в системе координат с началом в центре тяжести [pic]
Пользуясь определением и этим фактом можно легко определить геометрический
момент инерции фигур на рис.3.
Для первой фигуры (рис.3(а)):
[pic]
Для второй фигуры (рис.3(b)) найдем сначала момент инерции относительно
оси, проходящей через точки А и В
[pic], (12)
затем найдем площадь фигуры
[pic]
(13)
и наконец найдем необходимый нам момент инерции
[pic],
где величины [pic] вычисляются соответственно поформулам (11), (12) и (13).
Таким образом, все что было сказано для цилиндрических стержней
круглого сечения остается справедливым и для стержней произвольного сечения
с симметрией относительно плоскости в которой происходит изгиб, если в
качестве осевой линии взять линию, проходящую через центр тяжести сечения.
Подведем итоги:
1.В случае изгиба цилиндрических стержней только внешними изгибающими
моментами решение, полученное в рамках гипотезы плоских сечений, является
точным решением задачи теории упругости даже в случае конечных перемещений.
2.Изогнутая осевая линия стержня является частью окружности.
3.Если считать перемещения также малыми, то справедливы приближения
[pic]
которые при подстановке в (9) приводят приводят к уравнению осевой линии в
случае малых прогибов
[pic]
(14)
4.Произведение модуля Юнга на геометрический момент инерции
сечения относительно оси изгиба, проходящей через центр тяжести сечения
[pic]называется изгибной жесткостью стержня.
Найдем плотность упругой энергии при чистом изгибе. Для этого
воспользуемся выражением (4) и деформацией (6) для отдельного волокна,
имеющего координату [pic],
[pic].
Если проинтегрировать полученное выражение по площади сечения, найдем
линейную плотность упругой энергии (энергия на единицу длины)
[pic]
(15)

В практических приложениях состояние чистого изгиба реализовать
практически невозможно. Помимо внешних моментов на стержень, как правило,
действуют еще и внешние силы. Они могут быть распределенными и
сосредоточенными. Задача теории упругости в этом случае осложняется
наличием неоднородных условий на боковых поверхностях стержня. В этом
случае для равновесия стержня обязательно наличие в нем внутренних
касательных напряжений. Тем не менее возможен их приближенный учет в рамках
той же гипотезы плоских сечений.

Плоский изгиб стержня при наличии внешних сил и изгибающих моментов.

Рассмотрим общий случай, когда на выделенный элемент стержня со
стороны отброшенных его частей действуют сила [pic] и момент [pic] .
Помимо этих сил на него могут действовать распределенная нагрузка, которая
характеризуется силой, приходящейся на единицу длины стержня, [pic] и
распределенные моменты - [pic]
Будем считать, что действующие внешние силы приведены к центру тяжести
выделенного элемента рис. 4. Запишем условия равновесия :
[pic];
[pic]=0.
После деления на [pic] получим дифференциальные уравнения равновесия
стержня
[pic]
(16)

[pic]
Рис.4 Равновесие элемента стержня под действием системы сил и моментов.


Воспользуемся выражениями (5) для производных векторов подвижного
базиса и спроектируем первое уравнение на [pic]:
[pic] (17)
Если принять гипотезу плоских сечений и предположить нерастяжимость осевого
волокна, можно использовать выражение для момента. В результате получим для
неизвестных [pic] замкнутую систему уравнений равновесия при плоской
деформации стержня:
[pic]
(18)
Положение изогнутой оси стержня восстанавливается из уравнений
[pic].
(19)
Полученные уравнения (18), (19) справедливы для конечных перемещений и
малых деформаций. Отметим также, что система нелинейна. В данной модели
составляющая силы [pic] является результирующей касательных напряжений,
действующих на площадке нормального сечения. Она называется перерезывающей
силой.
В практических приложениях обычно считают [pic]а прогибы малыми,
тогда величина [pic] в первом уравнении - мала, и ею пренебрегают по
сравнению с остальными членами. Тогда, учитывая также, что [pic] получим

[pic] (20)
Или после исключения момента [pic] и перерезывающей силы [pic]
[pic]
(21)