Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://new.math.msu.su/tffa/programs/ka_2015_s_3_2.pdf Дата изменения: Thu May 21 23:07:45 2015 Дата индексирования: Sat Apr 9 23:43:20 2016 Кодировка: Windows-1251

Программа курса "Теория функций комплексного переменного" весна 2014/15 уч.г., отделение математики, II поток (лектор доц. П.А. Бородин)
1. Пример функции, голоморфной в заданной области и не продолжаемой аналитически ни в какую точку вне этой области. 2. Аналитическое продолжение гамма-функции Эйлера. 3. Принцип симметрии Римана-Шварца. 4. Непосредственное аналитическое продолжение элементов и его свойства. Аналитическое продолжение по цепочке и вдоль пути. Свойства продолжения вдоль пути. 5. Теорема о продолжении по гомотопным путям. Теорема о монодромии. Извлечение корня и взятие логарифма от функций, голоморфных в односвязной области и не обращающихся там в нуль. 6. Аналитические функции. Теорема Пуанкаре-Вольтерра. Операции над аналитическими функциями. Сужение на односвязную область. 7. Изолированные особые точки аналитических функций. Ряд Пюизо. 8. Теорема об общем виде алгебраической функции. 9. Понятие о римановой поверхности аналитической функции. Формула РиманаГурвица. 10. Локальное обращение голоморфных функций. Формула обращения. Ряд Бюрмана Лагранжа. Обратная функция как связный набор элементов. Порядок ветвления обратной функции в образе критической точки. 11. Схема доказательства теоремы Абеля о неразрешимости общего уравнения 5-й степени в радикалах. 12. Лемма Шварца. Конформные автоморфизмы круга, комплексной плоскости и расширенной комплексной плоскости. 13. Принцип компактности Монтеля. 14. Теорема Римана. Конформная классификация односвязных областей. Теорема Каратеодори (без доказательства). Принцип соответствия границ (без доказательства). 15. Коэффициенты ряда Тейлора функций, однолистных в круге. Теорема Бибербаха. Теорема Кебе. Теорема Смейла о значениях многочлена в его критических точках. 16. Теорема Кристоффеля-Шварца об общем виде конформного отображения круга на многоугольник. 17. Модулярная функция Шварца. Малая теорема Пикара. Следствие для мероморфных функций. Большая теорема Пикара (без доказательства). 18. Гармонические функции двух переменных: связь с голоморфными функциями, бесконечная дифференцируемость, теорема о среднем, принцип экстремума, теорема единственности, теорема Лиувилля. 19. Задача Дирихле: единственность для ограниченных жордановых областей, сведение к случаю круга. 20. Интеграл Пуассона. Решение задачи Дирихле в круге. Формула Шварца. 21. Преобразование Лапласа. Простейшие свойства изображения и оригинала. Голоморфность изображения в полуплоскости. 22. Формула обращения преобразования Лапласа. Теорема Бореля. 23. Применение преобразования Лапласа к решению задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Формула Дюамеля. 24. Голоморфные функции многих комплексных переменных: -дифференцируемость,

C

формула Коши в поликруге, ряд Тейлора в поликруге, теорема единственности. 25. Разложение функции, голоморфной в полной области Рейнхарта, в степенной ряд. Логарифмическая выпуклость области сходимости степенного ряда. 26. Теорема Хартогса о голоморфном продолжении с катушки.