Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://new.math.msu.su/tffa/programs/ka_2014_w_3_2.pdf Дата изменения: Sun Dec 21 23:54:35 2014 Дата индексирования: Sat Apr 9 23:46:13 2016 Кодировка: Windows-1251

Программа курса "Комплексный анализ" осень 2014/15 уч.г., отделение математики, II поток
(лектор доц. П.А. Бородин) 1. Свойства дробно-линейных отображений. Дробно-линейные автоморфизмы круга. 2. Основные элементарные функции, их максимальные области однолистности. Обратные к ним функции. Примеры областей, в которых выделяются непрерывные ветви обратных функций. 3.

R-дифференцируемость и C-дифференцируемость

комплекснозначной функции, связь

между ними. Условия Коши-Римана. Голоморфные в области функции. Голоморфность в бесконечности. Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Конформность в точке. 4. Определение интеграла по кривой в комплексной плоскости, независимость от параметризации кривой. Свойства интеграла. Три примера: интегралы от 5. Интегральная теорема Коши. 6. Существование первообразной у голоморфной функции в односвязной области. Интегральная теорема Коши для составного контура. Интегральная формула Коши. 7. Бесконечная дифференцируемость голоморфных функций. Разложение голоморфной в круге функции в ряд Тейлора. 8. Свойства степенных рядов, их голоморфность в круге сходимости. Неравенства Коши для коэффициентов. 9. Теорема Мореры. Условия на функцию, эквивалентные ее голоморфности в области. 10. Теорема Лиувилля. Теорема о среднем для голоморфных функций. Теорема единственности. Принцип максимума модуля и следствия из него. 11. Пространство голоморфных в области функций, сходимость в нем. Теорема Вейерштрасса о сходимости. Метризуемость сходимости внутри области. Невозможность нормировать эту сходимость. 12. Теоремы Рунге и следствия из них. 13. Ряды Лорана, их область сходимости. Разложение функции, голоморфной в кольце, в ряд Лорана. Формулы для коэффициентов. 14. Изолированные особые точки однозначного характера, их классификация в терминах рядов Лорана. Теорема Римана об устранимой особой точке. Теорема Сохоцкого. Бесконечность как изолированная особая точка. 15. Вычеты. Теорема Коши о вычетах. Способы вычисления вычетов. Вычет в бесконечности. 16. Лемма Жордана. Преобразование Фурье рациональных функций. 17. Теорема о логарифмическом вычете. Принцип аргумента. Теорема Руше. Принцип сохранения области. Многочлены Чебышева для круга. Теорема Гурвица. 18. Функции, мероморфные в в C функции ( ctg z )/z .

1

и от

z

по про-

1 извольной спрямляемой кривой, интеграл от z -a по окружности с центром

a

.

C.

Достаточное условие разложимости мероморфной

в ряд из главных частей рядов Лорана в полюсах. Примеры:
n=1

/ sin z

,

19. Суммирование рядов с помощью вычетов. Пример:

1/n2

.

20. Разложение мероморфной функции в сумму целой функции и ряда из разностей главных частей рядов Лорана и многочленов. Пример:

ctg z

. Теорема Миттаг-Леффлера.

21. Теорема Вейерштрасса о разложении целой функции в произведение. Пример:

sin z

.