Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://new.math.msu.su/tffa/programs/ka_2011_s_3_2.pdf Дата изменения: Wed May 25 22:11:00 2011 Дата индексирования: Sat Apr 9 23:47:41 2016 Кодировка: Windows-1251

Программа курса ?Комплексный анализ?, часть I I 2 поток, математики, 6 семестр, 2010/11 уч.год

1. Интеграл в смысле главного значения. Вычет относительно области и его вычисление. 2. Теорема о вычетах для интеграла в смысле главного значения. Примеры вычисления интегралов. Преобразование Гильберта. 3. Логарифмический вычет. Принцип аргумента. 4. Теорема Руше. Принцип сохранения области и его следствие. 5. Конформность голоморфных инъективных функций. 6. Обратный принцип соответствия границ. 7. Критерии локальной однолистности и локальной обратимости. 8. Принципы симметрии Римана-Шварца. 9. Теорема Гурвица. Сходящиеся последовательности однолистных функций. 10. Равномерная ограниченность и равностепенная непрерывность семейства функций. 11. Предкомпактность и компактность семейства функций. Теорема Монтеля. Непрерывный функционал на компактном семействе функций. 12. Теорема Римана о конформном отображении. 13. Лемма К?бе и е? следствие. Лемма Линдел?фа. 14. Граничная теорема единственности и окончание доказательства теоремы Каратеодори для жордановых областей. 15. Гомотопные пути в области. Связь 1- и 2- гомотопности путей в области. Классы гомотопных замкнутых путей в

C

.

16. Эквивалентные определения односвязной области в его свойства.

C

.

17. Элементы и их аналитическое продолжение. Аналитическое продолжение вдоль пути и 18. Единственность аналитического продолжения вдоль пути и его связь с продолжением по цепочке. 19. Аналитическое продолжение по близким путям и по путям гомотопии. Теорема о монодромии. 20. Аналитическое продолжение первообразной. Теорема об интегралах по гомотопным путям. 21. Полная аналитическая функция (ПАФ) в смысле Вейерштрасса: теорема Пуанкаре-Вольтерра, голоморфные ветви и точки аналитичности ПАФ. 22. Точки ветвления (ветвей) ПАФ, их классификация. Примеры: ПАФ 23. Понятие о римановой поверхности. Римановы поверхности

Ln z

и

n

Ln z , z z.

pи

Arctg z

.

24. Модулярная функция и малые теоремы Пикара. Большая теорема Пикара (б/д). 25. Гармонические функции (ГФ) двух переменных и их связь с голоморфными функциями. Инвариантность гармоничности при голоморфной замене координат. Решение задачи Дирихле в жордановых областях методом конформных отображений. 26. Теоремы о среднем, принцип минимума-максимума и теоремы единственности для ГФ. 27. Разложение ГФ в круге в ряд по гармоническим полиномам. Теорема Вейерштрасса для ГФ. Метод Фурье. 28. Формула Пуассона для круга. 29. Первая теорема Рунге. 30. Вторая теорема Рунге. Следствия. Лектор, д.ф.-м.н., профессор Зав. кафедрой теории функций и функционального анализа член-корр. РАН, профессор Б.С. Кашин П. В. Парамонов