Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://new.math.msu.su/tffa/programs/fa_2015_w_3_2.pdf Дата изменения: Mon Jan 11 22:49:48 2016 Дата индексирования: Sat Apr 9 23:40:50 2016 Кодировка: Windows-1251

Программа курса ?Функциональный анализ?, 3-й курс, 2-ой поток, 2015
Лектор: проф. А. А. Шкаликов

1. Метрические пространства. Открытые и замкнутые множества. Полнота. Сепарабельность. Примеры полных и неполных, сепарабельных и несепарабельных пространств. 2. Теорема о пополнении метрического X (один из вариантов доказательств). 3. Лемма о вложенных шарах. Теорема Бэра. Принцип равномерной ограниченности непрерывных функий на некотором шаре. 4. Топологические пространства. База. Сепарабельность. Примеры. Компакты и их свойства (компакт замкнут и содержит предельные точки). 5. Непрерывные отображения топологических пространств. Свойства непрерывных отображений компактов. Компактность непрерывного образа компакта. Достижение верхней и нижней граней. Теорема Кантора. 6. Компактность в метрическом пространстве. Вполне ограниченные множества. Критерий полной ограниченности (из любой последовательности можно выделить фундаментальную). 7. Критерий компактности в метрическом пространстве (полная ограниченность и полнота). 8. Эквивалентность компактности и счетной компактности в сепарабельных пространствах (из всякого открытого покрытия можно выделить счетное подпокрытие). 9. Критерий предкомпактности в lp , p

1. 1 (доказательство для

10. Теорема Асколи-Арцела: критерий предкомпактности в C [0, 1]. 11. Теорема М.Рисса: критерий предкомпактности в Lp [0, 1], p p = 1).

12. Линейные нормированные и банаховы пространства. Линейные ограниченные операторы (ограниченность эквивалентна непрерывности). Норма оператора. Полнота пространства линейных ограниченных операторов L(X, Y ) при условии полноты Y . 13. Теорема БанахаШтейнгауза. 14. Теорема Банаха об обратном операторе. 15. Теорема ХанаБанаха для вещественных линейных пространств. 16. Теорема ХанаБанаха для вещественных сепарабельных и для комплексных линейных пространств.



17. Сопряженное к линейному нормированному пространству, его полнота. Равенство dim L = dim L . Изометрическое вложение линейного нормированного пространства во второе сопряженное. Рефлексивные пространства. Примеры рефлексивных и нерефлексивных пространств. 18. Теорема Рисса о пространстве, сопряженном к C [a, b] (без доказательства равенства f = чB V ).
19. Базисы в банаховом пространстве. Описание пространств c и lp при p 0

20. Предгильбертовы пространства. Неравенство КошиБуняковского. Функционал (x, x) обладает свойством нормы. Лемма Рисса о существовании и единственности элемента, на котором достигается расстояние до подпространства.

1.

21. Теорема об ортогональном разложении в гильбертовом пространстве. 22. Ортонормированные системы в гильбертовом пространстве, процесс ортогонализации. Теорема Пифагора, неравенство Бесселя, равенство Парсеваля. Изоморфизм сепарабельных гильбертовых пространств. 23. Эквивалентность свойств полноты, замкнутости и выполнения равенства Парсеваля для ортонормированных систем. 24. Общий вид линейного непрерывного функционала в гильбертовом пространстве. Изоморфизм гильбертовых пространств H и H . Определение сопряженного оператора в гильбертовом пространстве. Равенство A = A . 25. Лемма о почти перпендикуляре. Некомпактность единичной сферы в бесконечномерном линейном нормированном пространстве. Ограниченность слабо ограниченных множеств в ЛНП. 26. Сопряженный к линейному оператору в банаховом пространстве. Сильная и слабая сходимость. Теорема Банаха-Алаоглу (без доказательства). Секвенциальная - слабая компактность замкнутого единичного шара в сепарабельном X . Секвенциальная слабая компактность единичного шара в гильбертовом пространстве. 27. Компактные операторы. Примеры и свойства компактных операторов. Теорема о равномерном пределе компактных операторов. Доказать, что компактный оператор переводит слабо сходящуюся последовательность в сильно сходящуюся. 28. Приближение компактного оператора конечномерными в гильбертовом пространстве. Сопряженный к компактному компактен (доказательство для гильбертова пространства). 29. Спектр и резольвента, их замкнутость и открытость. Равенство spec(A ) = spec(A). Равенство H = Ker A Im(A). 30. Непустота спектра. Оценка r(A)

A.