Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://new.math.msu.su/tffa/programs/fa_2014_s_3_1.pdf Дата изменения: Thu Jun 5 13:47:29 2014 Дата индексирования: Sat Apr 9 23:47:25 2016 Кодировка: koi8-r

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ. Лекции для I потока математиков, весенний семестр 2014 г.. Лектор А.Я.Хелемский. 1. Алге бра и спектр ее элемента. Поведение спектров при гомоморфизме. Полиномиальное исчисление от элемента алге бры. Закон отображения спектров для полиномиального исчисления. Спектр обратного элемента. 2. Банахова алге бра. Открытость множества ее обратимых элементов и непрерывность перехода к обратному элементу. Ограниченность и замкнутость спектра элемента банаховой алге бры. Местоположение спектра унитарного оператора. 3. Резольвентная функция и тождество Гильберта. Теорема о непустоте спектра. Формула спектрального радиуса (без док.). 4. Полинормированное пространство. Примеры. Топология полинормированного пространства. Сходимость последовательностей и условие хаусдорфовости в терминах преднорм. 5. Условие непрерывности оператора, действующего между полинормированными пространствами, в терминах преднорм. Сравнение топологий, заданных двумя системами преднорм. Непрерывность оператора дифференцирования в C [a, b]. 6. Достаточность семейства непрерывных функционалов на хаусдорфовом полинормированном пространстве. Слабая топология в полинормированном пространстве и слабая топология в пространстве, сопряженном к полинормированному. Сравнение слабой топологии в нормированном пространстве с исходной. 7. Условие выражения функционала в виде линейной комбинации других функционалов. Описание функционалов, непрерывных в слабой и непрерывных в слабой топологии. 8. Слабая непрерывность оператора, сопряженного к непрерывному оператору между преднормированными пространствами. Достаточное условие слабой плотности подпространства сопряженного пространства. Теорема Банаха-Алаоглу (без док.). 9. Пространство D. Примеры функций из D (горбушка и шляпа). Система преднорм в D. Полинормированные пространства S и E . Сходящиеся последовательности в D и E . 10. Хаусдорфовость пространств D, S и E . Сравнение их топологий. Непрерывность оператора дифференцирования в D. 11. Пространства обобщенных функций D , S и E . Условие непрерывности функционала на D и на E . Пространство Llok (R) и его вложение в D . Регуляр1 ные и сингулярные обобщенные функции. -функция и ее сингулярность. 12. Топология в пространствах обобщенных функций. Плотность D в D . Существование и единственность обобщенной производной.


13. Вложение E в D . Носители обобщенной функции. Два подхода к понятию обобщенной функции с компактным носителем. Теорема об описании обобщенных функций с компактным носителем в терминах обобщенных производных (без док.). 14. Достаточное условие обратимости самосопряженного оператора. Местоположение спектра самосопряженного оператора. 15. Выражение для нормы многочлена от самосопряженного оператора. Инволютивная алге бра и инволютивный гомоморфизм. Непрерывное функциональное исчисление от самосопряженного оператора и его свойства. 16. Положительный элемент инволютивной алге бры. Квадратичная форма оператора и полярное тождество. Арифметический квадратный корень из положительного оператора. Свойства оператора, эквивалентные его положительности. 17. Положительная и отрицательная части самосопряженного оператора. Семейство подпространств, ассоциированное с самосопряженным оператором. Разложение единицы самосопряженного оператора. Спектральная теорема Гильберта в аналитической и геометрической форме (без док.). 18. Классическое преобразование Фурье как оператор из L1 (R) в C0 (R). Его инъективность и плотность образа (без док.). Связь между операциями дифференцирования и умножения на независимую переменную, осуществляемая с помощью преобразования Фурье. 19. Определение свертки. Свертка функций из L1 (R). Связь свертки и поточечного умножения, осуществляемая с помощью преобразования Фурье. 19. Оператор Фурье в пространстве S . Его непрерывность. Обратный оператор Фурье в S и теорема обращения. 20. Существование и единственность преобразования Фурье в S . Его непрерывная обратимость. Преобразование Фурье -функции. Доказательство теоремы единственности классического преобразования Фурье. 21. Оператор Фурье в L2 (R) и теорема Планшереля. Функции Эрмита как собственные функции оператора Фурье. Спектр этого оператора.