Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://new.math.msu.su/tffa/programs/fa_2012_w_3_vch.pdf Дата изменения: Wed Jan 2 09:36:37 2013 Дата индексирования: Sun Apr 10 00:21:40 2016 Кодировка: Windows-1251

Программа курса "Функциональный анализ" (механико-математический факультет МГУ, специальное вечернее отделение (инженерный поток), 3-й курс, осенний семестр 2012/2013 учебного года). Лектор доцент В.П. Серебряков. I. Метрические и топологические пространства. 1. Метрические пространства, сходимость последовательностей в метрическом пространстве. Открытые и замкнутые множества. Полные и сепарабельные метрические пространства. Полнота и сепарабельность пространств C [a, b] и lp (1 p < ). Полнота и несепарабельность l . Сепарабельность lp [a, b] (1 p < ), неполнота и несепарабельность Cp [a, b] (1 p < ). 2. Теорема о вложенных шарах. Теорема Бэра о категориях. Существование функций, непрерывных на отрезке и недифференцируемых ни в одной точке этого отрезка. 3. Непрерывные отображения метрических пространств. Изометрия, изометричные пространства. Принцип сжимающих отображений и примеры его применения. 4. Пополнение метрического пространства; примеры. Теорема о пополнении метрического пространства. 5. Топологические пространства; примеры. Сравнение топологий. База топологии, теорема о задании топологии посредством базы; определяющие системы окрестностей; аксиомы отделимости. Теорема Линдел?фа о финальной компактности топологических пространств со второй аксиомой счетности. Сходящиеся последовательности в топологическом пространстве. 6. Непрерывные отображения топологических пространств; критерии непрерывности отображения; гомеоморфизм. Аксиомы отделимости; колмогоровские, достижимые, хаусдорфовы, регулярные и вполне регулярные топологические пространства. Нормальные пространства; нормальность метрических пространств. Метризуемость; первая метризационная теорема (без доказательства). 7. Компактные топологические пространства, компакты. Критерий компактности в терминах центрированных систем замкнутых множеств. Основные свойства компактных топологических пространств: наличие предельной точки у каждого бесконечного подмножества компактного пространства, компактность замкнутого подмножества компактного пространства, замкнутость компакта в любом содержащем его хаусдорфовом пространстве, нормальность компакта. Предкомпактные множества в топологических пространствах. 8. Непрерывный образ компактного пространства. Замкнутость непрерывного отображения компактного пространства в хаусдорфово. Гомеоморфность биективного непрерывного отображения компактного пространства на хаусдорфово. Непрерывные действительнозначные функции на компактных топологических пространствах, их свойства. 9. Вполне ограниченные множества в метрических пространствах, их свойства. Примеры вполне ограниченных множеств и ограниченных множеств, не являющихся вполне ограниченными. Критерий вполне ограниченности в терминах фундаментальных последовательностей. 10. Компактные метрические пространства; критерии компактности метрического пространства. Критерии компактности множества в метрическом пространстве. Равномерная непрерывность непрерывного отображения метрического компакта в метрическое пространство. 11. Предкомпактные множества в метрических пространствах. Общие критерии предкомпактности множества в метрическом пространстве. Теорема Арцела. Критерии предкомпактности множеств в пространствах lp (1 p < ) и Lp (1 p < ). II. Линейные нормированные и топологические пространства. 12. Линейные пространства. Базис Гамеля и его существование. Факторпространства линейного пространства. 13. Линейные нормированные пространства, банаховы пространства; примеры. Подпространства нормированного пространства. Факторпространства нормированного пространства; полнота факторпространства банахова пространства по его замкнутому подпространству.


14. Эквивалентные нормы в линейном пространстве. Примеры эквивалентных и неэквивалентных норм. Эквивалентность норм в конечномерном пространстве и ее следствия. 15. Теорема о вложенных шарах в случае нормированных пространств. Линейная изометрия, линейно изометричные (изоморфные) линейные нормированные пространства. Пополнение линейного нормированного пространства. Базис Шаудера. 16. Лемма о почти перпендикуляре. Некомпактность шара в бесконечномерном нормированном пространстве. Критерий конечномерности линейного нормированного пространства. 17. Линейные топологические пространства; примеры. Выполнимость третьей аксиомы отделимости в любом топологическом линейном пространстве. Ограниченные множества в линейных топологических пространствах. Локально ограниченные и локально выпуклые пространства. Теоремы Колмогорова и КрейнаМильмана (без доказательств). Полинормированные пространства. III. Линейные функционалы. Сопряженное пространство. Слабая топология, слабая сходимость в линейных топологических и нормированных пространствах. 18. Линейный функционал в линейном пространстве и его геометрический смысл. Линейные непрерывные функционалы в линейных топологических пространствах. 19. Линейные непрерывные функционалы в нормированных пространствах; эквивалентность непрерывности и ограниченнности линейного функционала в нормированном пространстве. Норма ограниченного линейного функционала в нормированном пространстве и ее геометрическая интерпретация. Примеры вычисления норм функционалов. Существование не непрерывного линейного функционала в бесконечномерном нормированном пространстве. 20. Теорема ХанаБанаха (случаи действительного и комплексного линейного пространства, случай нормированного пространства). Следствия из теоремы ХанаБанаха. Лемма об аннуляторе. 21. Пространство, сопряженное к нормированному; его полнота. Сепарабельность нормированного пространства в случае, когда сопряженное к нему сепарабельно. Примеры сопряженных пространств. Теорема Рисса о представлении линейного непрерывного функционала в пространстве C [a, b] (без доказательства); линейная изометричность пространств (C [a, b]) и V 0 [a, b]. Теорема о представлении линейного непрерывного функционала в пространстве C 1 [a, b] (без доказательства). 22. Каноническое вложение нормированного пространства в его второе сопряженное. Рефлексивные банаховы пространства. Примеры рефлексивных и нерефлексивных банаховых пространств. 23. Слабая топология и слабая сходимость в линейных топологических пространствах. Слабая сходимость в нормированных пространствах; ограниченность слабо сходящейся последовательности, равносильность ограниченности по норме и слабой ограниченности для подмножеств нормированного пространства. Достаточные условия слабой сходимости в нормированном пространстве. Критерии слабой сходимости в пространствах lp (1 p ) и C [a, b]. 24. -слабая топология и -слабая сходимость в сопряженном пространстве. Ограниченность -слабо сходящейся последовательности в пространстве, сопряженном к банахову. Достаточные условия -слабой сходимости в пространств, сопряженном к нормированному. Критерий счетной предкомпактности в -слабой топологиии для подмножеств пространства, сопряженного к сепарабельному банахову пространству. Теорема БанахаАлаоглу (без доказательства). IV. Линейные операторы (начало раздела). 25. Определение и примеры линейных операторов. Действия с операторами. Ограниченные операторы; связь непрерывности и ограниченности. Норма ограниченного линейного оператора, отображающего нормированное пространство в нормированное. Примеры вычисления норм операторов. 26. График оператора. Замкнутые операторы. Замыкание оператора. Условия, при которых оператор допускает замыкание. Замкнутость ограниченного оператора. Примеры неограниченных замкнутых операторов и незамыкаемых операторов. 27. Обратный оператор, обратимый оператор. Теорема Банаха об обратном операторе. Теорема об открытом отображении. Лемма о тройке. Теорема о замкнутом графике. 28. Теорема БанахаШтейнгауза, ее применения в анализе.


29. Пространство линейных ограниченных операторов, отображающих нормированное пространство в нормированное; условие его полноты. Различные сходимости (по операторной норме, поточечная, слабая) последовательностей линейных ограниченных операторов и связь между ними. 30. Сопряженные операторы и их свойства. Лемма об аннуляторе ядра оператора. Заведующий кафедрой теории функций и функционального анализа академик РАН, профессор Кандидат физ.-мат. наук, доцент

/Б. С. Кашин/ /В. П. Серебряков./