Программа курса «Действительный анализ».
Мех-мат. 2 курс, 2 поток, весна 2010/11 уч.г.
Лектор - к.ф.-м.н., доцент А.Н.Бахвалов.

1. Системы множеств (полукольца, кольца, алгебры, σ-алгебры и т.д.). Примеры. Теорема о минимальном кольце, порожденном полукольцом.
2. Меры на полукольцах и на кольцах. Примеры. Продолжение меры с полукольца на минимальное кольцо. Свойства мер. Полнота мер.
3. Связь σ-аддитивности и непрерывности. Стандартная мера на полукольце промежутков в Rⁿ и ее σ-аддитивность.
4. Внешняя мера Лебега и ее свойства. Измеримые множества. Алгебра измеримых множеств.
5. Мера Лебега и корректность ее определения. Измеримость счетного объединения измеримых множеств. Счетная аддитивность меры Лебега.
6. σ-конечные меры и их продолжение по Лебегу.
7. Теорема о структуре измеримых множеств. Описание мер Лебега.
8. Измеримые функции. Элементарные свойства измеримых функций.
9. Измеримость предела последовательности измеримых функций. Сходимость почти всюду. Критерий сходимости почти всюду на множестве конечной меры.
10. Сходимость по мере. Связь между сходимостью по мере и сходимостью почти всюду. Теорема Егорова. Теорема Лузина (без док-ва).
11. Интеграл Лебега для простых функций и его свойства.
12. Определение интеграла Лебега в общем случае. Свойства интеграла Лебега на заданном множестве.
13. Свойства интеграла Лебега как функции множества. Неравенство Чебышева.
14. Теорема об интеграле по лебеговскому продолжению меры. Теорема Лебега о предельном переходе.
15. Теорема Б. Леви о предельном переходе. Теорема Фату.
16. Прямые произведения мер.
17. Теорема о выражении меры множества через меры сечений. Теорема Фубини.
18. Заряды. Разложения Хана и Жордана.
19. Абсолютно непрерывные заряды. Теорема Радона - Никодима.
20. Неравенства Гельдера и Минковского. Пространства L_p.
21. Полнота пространств L_p.
22. Теорема Витали о покрытии.
23. Дифференцируемость монотонных функций почти всюду.
24. Функции ограниченной вариации и их свойства. Непрерывность вариации с переменным верхним пределом для непрерывной функции.
25. Связь интеграла Римана --- Стилтьеса с интегралом Лебега по мере Стилтьеса. Связь между интегралами Римана и Лебега на отрезке. Критерий Лебега интегрируемости по Риману.
26. Абсолютно непрерывные функции. Теорема об абсолютно непрерывной функции с производной, равной нулю почти всюду.
27. Производная неопределенного интеграла Лебега. Критерий представимости функции в виде неопределенного интеграла Лебега от своей производной. Интегрирование по частям в интеграле Лебега.