Программа курса «Действительный анализ».
Мех-мат. 2 курс, 1 поток, весна 2010/11 уч.г.
Лектор -- д.ф.-м.н., профессор М.И. Дьяченко.

1. Системы множеств (полукольца, кольца, алгебры, σ-алгебры и т.д.). Минимальные кольца и их свойства. Связь между σ-кольцами и δ-кольцами.
2. Меры на полукольцах. Классическая мера Лебега на полукольце промежутков в Rⁿ и ее σ-аддитивность.
3. Продолжение меры с полукольца на минимальное кольцо.
4. Внешние меры Лебега и Жордана. Их полуаддитивность.
5. Меры Лебега и Жордана. Их свойства.
6. Связь σ-аддитивности и непрерывности. Полнота мер.
7. Меры Лебега -- Стилтьеса на прямой. Мера Бореля.
8. σ-конечные меры.
9. Теорема о существовании неизмеримого подмножества в любом измеримом, относительно классической меры Лебега, множестве положительной меры.
10. Измеримые функции. Их арифметические свойства. Измеримость функции g (f(x)), где f - непрерывная, а g - измеримая функции.
11. Измеримые функции и предельный переход. Теорема об измеримости производной непрерывной функции.
12. Сходимость по мере и ее свойства.
13. Сходимость почти всюду. Критерий этой сходимости на множествах конечной меры.
14. Связь между сходимостью по мере и сходимостью почти всюду.
15. Теорема Егорова. Теорема Лузина (б/д).
16. Интеграл Лебега для простых функций и его свойства.
17. Определение интеграла Лебега в общем случае. Лемма о приближении измеримой неотрицательной функции монотонной последовательностью простых функций.
18. Линейность интеграла Лебега по функции и по множеству для неотрицательных функций. Линейность интеграла Лебега относительно умножения на константу.
19. Линейность интеграла Лебега по функции в общем случае. Интегрирование неравенств.
20. Теорема Леви о предельном переходе и ее следствия.
21. Теоремы Фату и Лебега.
22. Линейность интеграла Лебега по множеству. Неравенство Чебышева и его следствие.
23. Абсолютная непрерывность интеграла Лебега.
24. Критерий интегрируемости по Лебегу на множестве конечной меры.
25. Связь между интегралами Римана и Лебега на отрезке в Rⁿ.
26. Заряды. Разложения Хана и Жордана.
27. Теорема Радона - Никодима.
28. Неравенства Гельдера и Минковского. Пространства L_p.
29. Полнота пространств L_p.
30. Представление интеграла от p-той степени функции c помощью функции распределения.
31. Теорема о плотных множествах функций в пространствах L_p.
32. Абсолютно непрерывные функции и их свойства (арифметические свойства, абсолютная непрерывность композиции f(g (x)), где f и g - абсолютно непрерывны и g монотонна).
33. Абсолютно непрерывные функции и функции ограниченной вариации. N-свойство Лузина. Теорема Банаха-Зарецкого (без доказательства достаточности).
34. Лемма Витали.
35. Теорема о дифференцировании интеграла Лебега по переменному верхнему пределу.
36. Восстановление абсолютно непрерывной функции по ее производной с помощью интеграла Лебега. Замена переменной и интегрирование по частям в интеграле Лебега.
37. Прямые произведения мер(б/д). Теорема Фубини (б/д).