|
Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес
оригинального документа
: http://new.math.msu.su/tffa/persons/domrin.html
Дата изменения: Thu May 8 23:08:05 2014 Дата индексирования: Sat Apr 9 22:58:40 2016 Кодировка: Windows-1251 |
Окончил мех-мат МГУ в 1991 г. Кандидат физ.-мат. наук (1995), тема диссертации "Описание в терминах RC-особенностей характеристических классов вещественных подмногообразий в комплексных многообразиях" (научный руководитель академик Анатолий Георгиевич Витушкин). В этой работе идея подхода Гротендика к определению классов Чженя (состоящая в том, что надо поднять задачу на универсальное расслоение, где она легко решается, а полученный ответ перенести обратно) применяется для получения наиболее общих на сегодняшний день формул, связывающих топологию множества тех точек z вещественного подмногообразия M в комплексном многообразии X, для которых касательное пространство Tz M содержит комплексное подпространство большей размерности, чем в общем положении, с топологией многообразий M и X (см. [1]--[3]). Доктор физ.-мат. наук (2013), тема диссертации "Голоморфные решения солитонных уравнений".
Некоммутативная геометрия (см. [4]--[6]). В 2005 г. в совместной работе с физиками из Ганновера был описан спектр гессиана функционала энергии некоммутативной сигма-модели (получаемой квантованием гармонических отображений двумерной сферы в унитарную группу) в точках, отвечающих многосолитонным решениям. Развитие этих идей привело к переносу на некоммутативный случай теории унитонов. Речь идет вот о чем. Хорошо известно, что всякое унитарное линейное преобразование на Cn можно записать в виде композиции конечного числа отражений относительно некоторых подпространств Cn. В 1980-ых гг. К.Уленбек доказала, что всякое гармоническое отображение (конечной энергии) из двумерной сферы S2 в унитарную группу U(n) тоже разлагается в такое произведение, только теперь эти подпространства (псевдо)голоморфно зависят от точки z из S2. Эти множители (строительные блоки для гармонических отображений S2 в U(n)) и называются унитонами. Перенос теории унитонов на некоммутативный случай (осуществляемый посредством квантования Вейля) позволил доказать целочисленность энергии всех решений и описать пространства модулей решений малой энергии. Обнаруженные в ходе этой работы удивительные закономерности еще очень далеки от полного изучения.
Комплексно-аналитический взгляд на солитонные уравнения (см. [7]--[9]). В 1989 г. Анатолий Гордеевич Костюченко читал спецкурс о методе обратной задачи рассеяния (МОЗР). Было интересно, но непонятно. Кое-что прояснилось, только когда в 2000--2002 гг. мне самому довелось изучать один из комплексно-аналитических аспектов МОЗР: задачу Римана о факторизации голоморфных матричнозначных функций. В результате было найдено простое, но полезное достаточное условие разрешимости этой задачи, основанное на принципе симметрии (в отличие от известного условия Гохберга--Крейна, основанного на принципе аргумента и теореме Руше) с выводами о регулярности построенных решений солитонных уравнений при всех вещественных значениях x и t. Развитие этой деятельности привело к разработке новых аспектов локального варианта МОЗР, где потенциалы считаются голоморфными функциями, но никаких граничных условий не налагается. Это позволило дать критерий разрешимости локальной голоморфной задачи Коши для солитонных уравнений параболического типа (наиболее известным их представителем является уравнение Кортевега--де Фриза) и установить, что все локальные голоморфные решения таких уравнений глобально мероморфны по пространственной переменной.