Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://new.math.msu.su/tffa/olympiads/OLYMP13.pdf Дата изменения: Mon Apr 1 18:34:33 2013 Дата индексирования: Sat Apr 9 23:00:39 2016 Кодировка: Windows-1251

ОЛИМПИАДА ПО АНАЛИЗУ ДЛЯ СТУДЕНТОВ I-II КУРСОВ
кафедра Теории функций и функционального анализа кафедра Математического анализа
1. (П.А. Бородин) Второкурсник Игорь и первокурсница Аня играют в такую игру: вначале Игорь вырезает из отрезка [0, 1] интервал длины 1/2, затем из оставшихся двух отрезков Аня вырезает интервал длины 1/4, затем из оставшихся трех отрезков Игорь вырезает интервал длины 1/8, и т.д. Проигрывает тот, кто не может вырезать свой очередной интервал. Кто выиграет при правильной игре? 2. (В.К.Белошапка) Пусть отображение f : R2 R2 имеет вид f (x, y ) = (P (x, y ), Q(x, y )), где P и Q многочлены вида c(a(x) + b(y )) (a, b, c многочлены от одной переменной). Докажите, что если якобиан (определитель матрицы первых частных производных) отображения f в каждой точке равен 1, то f инъекция. 3. (П.А.Бородин) Пусть f (x) гладкая выпуклая вниз функция на прямой с единственным минимумом в нуле, и для всякого a сумма f (x) + f (x - a) достигает минимума в точке, в которой f (x) = f (x - a). Верно ли, что функция f четная? 4. (В.В.Рыжиков) Последовательность функций fn : [0, 1] [0, 1] обладает свойством
1

fn (t) dt = a > 0,
0

n = 1 , 2, . . . .

Докажите, что для любого > 0 найдутся такие два различных номера j и k , что
1 0

fj (t)fk (t) dt > (1 - )a2 .

5. (Ф.А. Ивлев) Пусть f : [1, ) [1, ) возрастающая функция, причем функция f (x)/x не ограничена на [1, ). Докажите, что найдется последовательность a1 < a2 < . . . положительных чисел со свойствами
k=1

1 = , ak

k=1

1 < . f (ak )