Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://new.math.msu.su/tffa/olympiads/OLYMP09.pdf Дата изменения: Mon Apr 1 18:34:26 2013 Дата индексирования: Sat Apr 9 23:00:16 2016 Кодировка: Windows-1251

ЗАОЧНАЯ ОЛИМПИАДА ПО АНАЛИЗУ ДЛЯ СТУДЕНТОВ I-II КУРСОВ
кафедра Теории функций и функционального анализа кафедра Математического анализа
1. (П.А.Бородин) Многочлен P (x) с действительными коэффициентами удовлетворяет неравенству P (x) P (x)/1000 при каждом x R. Сколько действительных нулей может иметь этот многочлен? 2. (Т.П.Лукашенко) Для каждого [0; 1] и n N описать все такие n раз дифференцируемые функции f : R R, что для любых точек x и x0 выполняется равенство
n-1

f (x) =
k=0

f

(k)

(x0 ) f (x - x0 )k + k!

(n)

(x0 + (x - x0 )) (x - x0 )(x0 + (x - x0 )) (n - 1)!

n-1

.

3. (В.В.Галатенко) Найти inmum множества значений параметра , при каждом из которых ряд x sin nx n n=1 сходится равномерно при x (0, 1). 4. (В.В.Рыжиков) Во множестве с конечной мерой ч даны 2009 последовательностей подмно жеств Ar , r = 1, . . . , 2009, j = 1, 2, . . . . Для каждого r и j справедливо равенство ч(Ar ) = 1/ 2009 j . j j Доказать, что найдутся такие различные j и k , что ч(Ar Ar ) > 0 для любого r = 1, 2, . . . , 2009. j k 1 5. (В.И.Богачев) Сходится ли ряд n=1 n sin n ? 6. (П.А.Бородин) Существуют ли такие функции f , g , h C [0, 1], что f + g + h = для любых чисел , , (здесь f = max{|f (x)| : x [0, 1]}))? 7. (И.А.Шейпак) Вычислить
n=1

2 + 2 +

2

1 n

n m=1

1 m

2

.

8. (П.А.Бородин) Существует ли такое непустое замкнутое множество M в пространстве C [0, 1] с равномерной метрикой, что для любой функции f C [0, 1] \ M в M нет функции, ближайшей к f? 9. (В.И.Богачев) Для любой ли измеримой по Лебегу функции f : [0, 1] R найдется такая измеримая по Борелю функция g : [0, 1] R, что f (x) g (x) для любого x [0, 1]?